經(jīng)典例題1、菱形與旋轉(zhuǎn)問題
在菱形ABCD中,，∠ABC＝60°,，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE,，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．
（1）如圖1,，當點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE,，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是________,，CE與AD的位置關(guān)系是________；
（2）當點E在菱形ABCD外部時,，(1)中的結(jié)論是否還成立,？若成立，請予以證明,；若不成立,，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理),；
（3）如圖④,，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE,，若AB＝2√3,，BE＝2√19，求四邊形ADPE的面積．
【試題分析】此題是四邊形的綜合題,重點考查菱形的性質(zhì),、等邊三角形的性質(zhì),、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、以及圖形的面積等知識點,解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線,將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來,此題難度較大,屬于考試壓軸題.
(1)連接 AC ,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△ BAP ≌ CAE 即可證的結(jié)論;
(2)(1)中的結(jié)論成立,用(1)中的方法證明 △ BAP≌△ CAE 即可;
(3)連接 AC 交 BD 于點 O ,由 LBCE =90,根據(jù)勾股定理求出 CE 的長即得到 BP 的長,再求 AO PO ,、 PD 的長及等邊三角形 APE 的邊長,可求得△ APD 和△ APE 的面積,進而求得四邊形 ADPE 的面積.
【參考答案】(1)BP＝CE CE⊥AD ,；（2）成立；（3）8√3.
經(jīng)典例題2,、正方形中的三角形與旋轉(zhuǎn)問題
（1）如圖1,，正方形ABCD中以AB為邊在正方形內(nèi)構(gòu)造等邊△ABE，等邊△ABE邊AE交正方形對角線BD于F點,，求證：BF/FD=√3．
（2）將等腰Rt△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置連接DE,，M點為DE的中點，連接AM,、MF,，求MA與MF的關(guān)系；
（3）如圖3,，將△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)一周,，若EF＝4，AB＝1,，請直接寫出點M在這個過程中的運動路徑長為 ?。?/p>
【試題分析】（1）延長AE，交CD于點G,，由“8字”型相似可得BF：FD=DG：AB=tan60°=√3.（2）MA⊥MF,，且MA=MF；
經(jīng)典例題3,、正方形中的線段與旋轉(zhuǎn)問題
將正方形ABCD的邊CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90）至CP,，連接PB，PD．
（1）如圖1,，當α＝40°時,，直接寫出∠BPD的大小,；
（2）如圖2,，過B作BE⊥PD交PD延長線于點E，連接AE．
①求∠BPD的大??；
②探究AE，PD之間的數(shù)量關(guān)系,，并證明你的結(jié)論,；
③當點D為PE中點時，PB＝6,，直接寫出四邊形ABPE的面積．
參考答案見下圖
例題4,、正方形與旋轉(zhuǎn)問題
如圖1,，四邊形ABCD為正方形，將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A1CD1的位置,，旋轉(zhuǎn)角為α．連接AA1,，E為AA1的中點．
（1）當α＝45°時,，如圖2,，此時∠AA1C＝ ,；
（2）在（1）的條件下,，再將△EAB繞點E旋轉(zhuǎn)180°至△EA1M的位置．請你在圖2中完成作圖，并證明：EC＝EM,；
（3）將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置,，試判斷△EBD1的形狀并證明.
【參考答案】（1）67.5°；（2）略,；（3）等腰直角三角形,。