二次函數(shù)與圓的綜合題型
例題、如圖,,二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像交x軸于A(-1,,0),B(2,,0),,交y軸于C(0,-2),,過(guò)A,,C畫直線.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,,且PA=PC,,求OP的長(zhǎng);
(3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖 像上,,以M為圓心的圓與直線AC相切,,切點(diǎn)為H.
①若M在y軸右側(cè),且△CHM∽△AOC(點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)),,求點(diǎn)M的坐標(biāo),;
②若⊙M的半徑為4/5√5(5分之4又根號(hào)5) ,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【解析,、分析】
(1)根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,、B的坐標(biāo),設(shè)出二次函數(shù)交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x+1)(x﹣2),,然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值,,即可得到二次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)OP=x,,然后表示出PC,、PA的長(zhǎng)度,,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,,然后解方程即可,;
(3)①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分:
(i)點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí),,利用同位角相等,,兩直線平行判定CM∥x軸,從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同,,是﹣2,,代入拋物線解析式計(jì)算即可;
(ii)點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí),,根據(jù)(2)的結(jié)論,,點(diǎn)M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn),求出直線PC的解析式,,與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo),;
②在x軸上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,,可以證明△AED和△AOC相似,,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長(zhǎng)度,然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長(zhǎng)度,,從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),,再作直線DM∥AC,然后求出直線DM的解析式,,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
【參考答案】
【考點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖像相交或平行問(wèn)題,,勾股定理,切線的性質(zhì),,相似三角形的性質(zhì),,二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
定角必有隱圓例題
例、在平面直角坐標(biāo)系中,,拋物線y=x+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)如圖1,,當(dāng)k=1時(shí),,直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),;
(2)在(1)的條件下,,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),;
(3)如圖2,,拋物線y=x+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),,在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q,,使得∠OQC=90°?若存在,,請(qǐng)求出此時(shí)的k值,;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】【分析】
方法一:(1)當(dāng)k=1時(shí),,聯(lián)立拋物線與直線的解析式,解方程求得點(diǎn)A,、B的坐標(biāo),;
(2)如答圖2,作輔助線,,求出△ABP面積的表達(dá)式,,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)“存在唯一一點(diǎn)Q,,使得∠OQC=90°”的含義是,,以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q,由圓周角定理可知,,此時(shí)∠OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一.以此為基礎(chǔ),,構(gòu)造相似三角形,利用比例式列出方程,,求得k的值.需要另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與拋物線交于C點(diǎn),,此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°.
方法二:(1)聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)A,,B坐標(biāo).(2)利用面積公式求出P點(diǎn)坐標(biāo).(3)列出定點(diǎn)O坐標(biāo),,用參數(shù)表示C,Q點(diǎn)坐標(biāo),,利用黃金法則二求出k的值.
【答案】
【考點(diǎn)】勾股定理,,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),,二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,,二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。