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小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇一

數(shù)學(xué)公式和定理揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律,，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體．要學(xué)好數(shù)學(xué),，必須對(duì)公式和定理有十分正確透徹的理解,，也就是說(shuō)，牢固掌握并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和定理是提高數(shù)學(xué)能力的重要前提．在教學(xué)過(guò)程中我積累了一些經(jīng)驗(yàn),，下面我就數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)談?wù)勎业囊恍w會(huì)．

在數(shù)學(xué)公式和定理的學(xué)習(xí)中,，需要學(xué)生具備多方面的能力,，如對(duì)新舊知識(shí)聯(lián)系的理解能力,，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納與探究能力,，對(duì)公式與定理的推理與演繹能力，對(duì)知識(shí)的存儲(chǔ),、記憶與應(yīng)用能力等．

數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套”,、“公式加例題”的形式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式,、定理的外殼,，忽視它們的來(lái)龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍．事實(shí)上在公式與定理的教學(xué)中一般應(yīng)有如下五個(gè)環(huán)節(jié)：引入,，推導(dǎo),，條件和特例，應(yīng)用,，最后把它們納入學(xué)生的知識(shí)體系．因此,，教師在教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)興趣,，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用,，就能避免學(xué)生的死記硬背，生搬硬套,，做到“活學(xué)活用”．

一,、知識(shí)引入多樣化，激發(fā)學(xué)生求知欲

公式,、定理的引入是發(fā)展學(xué)生思維,、培養(yǎng)探索能力的首要環(huán)節(jié)．一開(kāi)始的引入如能把學(xué)生吸引住，將大大激發(fā)學(xué)生的求知欲,，使他們的思維處于最亢奮的狀態(tài)．在平時(shí)的教學(xué)中,，我發(fā)現(xiàn)，“開(kāi)門見(jiàn)山”式的引入雖然省時(shí)省力,，但學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣,，只等著老師講．而針對(duì)不同的公式與定理，采用多樣化的引入,，能很好地吸引學(xué)生,，激發(fā)他們的探究欲望．在教學(xué)實(shí)踐中，我常常采用以下幾種引入的方法：

1,、實(shí)踐引入：

教師要善于搜集與公式和定理相關(guān)的,、有趣味的模型，使學(xué)生在接觸課題時(shí),，就產(chǎn)生強(qiáng)烈的探求欲望．例如在引入線面垂直的判定定理時(shí),先讓學(xué)生自己動(dòng)手做一個(gè)實(shí)驗(yàn):如圖,拿一張矩形紙片,對(duì)折后略為展開(kāi),使矩形被折的一邊緊貼在桌面上,教師告訴學(xué)生,，折痕和桌面是垂直的,，這是為什么呢？學(xué)生一下子被吸引住了,，急切地想知道這是為什么．

2,、類比引入：

數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，因此新公式,、新定理可以由舊公式,、舊定理通過(guò)類比遷移而來(lái)． 例如在引入余

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弦定理時(shí)，先給出三角形的三邊a,、b,、c,其中c為最大邊．討論c2與a2?b2的關(guān)系．同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)勾股定理，?c?900時(shí)有c2?a2?b2．教師向?qū)W生提出這樣的問(wèn)題,，在斜三角形中a2?b2與c2有什么關(guān)系,？學(xué)生通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?c?900時(shí)有c2?a2?b2,；當(dāng)?c?900時(shí)有c2?a2?b2．通過(guò)對(duì)三種三角形的類比,，學(xué)生會(huì)有很大的興趣去討論它們之間存在怎樣的一種關(guān)系式．此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出在△abc中，三邊a,、b,、c有這樣一種關(guān)系：c2?a2?b2?m．進(jìn)而得出m的符號(hào)與?c的關(guān)系．這種引入方法，使學(xué)生對(duì)新公式,、新定理不感到突然,，而是舊公式、舊定理的延伸與擴(kuò)展．

3,、發(fā)現(xiàn)法引入：

由于公式是對(duì)客觀實(shí)踐的抽象,，為了完成這一過(guò)程，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生重涉前人探索之路去發(fā)現(xiàn)公式．這種發(fā)現(xiàn)式的引入,，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察與探究能力有重要作用．在應(yīng)用這種引入方法時(shí),，關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)使學(xué)生感興趣的情景．例如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時(shí)，我給同學(xué)們講了他們都知道的高斯小時(shí)候求1?2???100的故事,，并加上了故事的尾巴：“在高斯說(shuō)出了他的方法后,，老師又提出了新的問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算1?4?7???98”,，大家想一想,，該如何計(jì)算？更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)a1?a2???an的計(jì)算公式我們能推導(dǎo)出來(lái)嗎?同學(xué)們興致盎然,，通過(guò)獨(dú)立探究與合作討論,，很快就得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式．

二、重視推導(dǎo)和證明,，弄清來(lái)龍去脈

公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心．由于第一環(huán)節(jié)恰當(dāng)?shù)匾?，學(xué)生的心理狀態(tài)是“興趣被激發(fā),，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感”,，因此我抓住機(jī)會(huì)給予證明．如果在教學(xué)中不重視推導(dǎo),，學(xué)生對(duì)它們的來(lái)龍去脈就會(huì)很模糊．在推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)中，我盡量發(fā)揮學(xué)生的主體作用,，能讓學(xué)生推導(dǎo)的就讓學(xué)生推導(dǎo),，并注意指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯(cuò)誤．有些推導(dǎo)過(guò)程繁瑣的公式與定理，教師注重分析,，講清為什么用這樣的方法．如果公式和定理有幾種推導(dǎo)方法，教學(xué)中不是面面俱到,，而是讓學(xué)生課后思考不同的推導(dǎo)方法,，在下一節(jié)課上進(jìn)行交流．

三、強(qiáng)調(diào)條件和特例

公式成立是要有一定條件的．學(xué)生學(xué)習(xí)公式的最大弱點(diǎn)是把公式作為“萬(wàn)能公式”亂用亂套．因此教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件．如含有正切的三角公式的角的范圍是有限制的．在公式推導(dǎo)完成后,，我常常讓學(xué)生做一個(gè)小練習(xí),，從中發(fā)現(xiàn)他們忽略條件而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，讓學(xué)生討論公式應(yīng)用中要注意公式成立的條件．

另外,，公式雖具有一定的普遍意義,，但對(duì)一些具有特殊條件的情形要給予注意，這就是公式的特例．如三角誘導(dǎo)公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例．而一般結(jié)論往往是特例的發(fā)展與完善．如正弦定理是三角形面積公式的發(fā)展與推廣．

四,、注重靈活應(yīng)用,，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于應(yīng)用，因此,，在公式和定理的教學(xué)中,，必須使學(xué)生靈活巧妙地應(yīng)用公式和定理，提高,、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際運(yùn)用的能力．在此教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用公式．

每個(gè)公式本身均可作各種變化,，為了在更廣闊的背景中運(yùn)用公式，就需要對(duì)公式本身進(jìn)各種變形．這一層次的思維量大,，可很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．例如：ai（i?1,2,?,n）為正數(shù),，求證

222a12?a2?a2???an?a12?2(a1?a2???an)，可把基本不等式a2?b2?2ab變形為

a2?b2?a?b

2來(lái)用．再如求tg200?tg400?tg200tg400的值,，是將tg(???)的公式變形使用．

五,、把公式和定理納入學(xué)生的知識(shí)體系

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性強(qiáng)．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后，可以形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展,，是“同化”與“順應(yīng)”調(diào)節(jié)的辨證統(tǒng)一．“同化”指的是新知識(shí)與舊知識(shí)相一致時(shí),，新知識(shí)被納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；“順應(yīng)”指的是新知識(shí)與舊知識(shí)不一致時(shí),，對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié),，以適應(yīng)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)．如在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,，判別式小于零的實(shí)系數(shù)一元兩次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可同化到學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中；而|z|2?z?z,，就要學(xué)生將舊知識(shí)“順應(yīng)”到新的知識(shí)機(jī)構(gòu)中去．因此,，在教學(xué)中我們要注意把新知識(shí)納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．為此，我在教學(xué)中充分注意以下幾點(diǎn)：

1,、注意公式推導(dǎo)過(guò)程中包含的數(shù)學(xué)思想方法．

在公式與定理的推導(dǎo)過(guò)程中,，常常要用到數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般,，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．在推導(dǎo)過(guò)程中,，教師常從特殊的情景出發(fā)進(jìn)行分析．例如，在推導(dǎo)sinx?a(|a|?1)解集時(shí),，從a的特殊值開(kāi)始進(jìn)行分析．在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),，要分q?1與q?1兩種情況討論．在教學(xué)中要充分挖掘公式與定理推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想方法，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性與靈活性．

2,、公式和定理的推廣及引申

由于學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性和教材要求等原因,，中學(xué)數(shù)學(xué)有許多公式和定理是可以推廣的，教會(huì)學(xué)生推廣,，讓學(xué)生看清知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系,，是把知識(shí)納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑．例如三角形面積公式s?11absinc中bsinc就是a邊上的高,它其實(shí)就是初中所學(xué)的公式s?ah的另一種新的形式．再如學(xué)2

2習(xí)了祖暅原理后，讓學(xué)生把它引申到平面幾何的相應(yīng)命題．

3,、比較與鑒別

比較與鑒別是把公式和定理納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必由之路．在教學(xué)的后階段,，一般是應(yīng)用所學(xué)新知識(shí)來(lái)解題．如果僅僅盯住新公式，學(xué)生就失去一次獨(dú)立選擇公式的機(jī)會(huì),，這無(wú)助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展．特別是公式較多時(shí),，學(xué)生一旦面臨復(fù)雜的問(wèn)題，他們會(huì)無(wú)所適從．因此在教學(xué)中用注意公式的比較

與鑒別,，選擇合適的公式解題,，使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展．例如有這樣一道題：在△abc中，已知a?3,，b?1,?b?300 ,求c邊的長(zhǎng)．如果用正弦定理來(lái)解,，要分兩步而且面臨∠a是一解還是兩解的選擇，而直接用余弦定理就可一步到位．在數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中,，教師必須使學(xué)生到達(dá)以下目標(biāo)：一是要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公式與定理的內(nèi)容,；二是要學(xué)會(huì)分析其條件與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系；三是要正確地掌握其證明及推導(dǎo)方法,；四是要明確其使用的條件和適用的范圍及應(yīng)用的規(guī)律,；五是要考慮對(duì)一些重要的公式和定理能否作適當(dāng)?shù)囊昱c推廣．我們?cè)诮虒W(xué)中，必須以適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐胶投ɡ淼陌l(fā)生發(fā)展過(guò)程展示給學(xué)生,，讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí),，并領(lǐng)悟公式和定理所包含的教學(xué)思想方法,，靈活地掌握知識(shí)，應(yīng)用知識(shí),，達(dá)到提高分析問(wèn)題,，解決問(wèn)題的能力．

參考資料：

李果民《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模》 廣西教育出版社2003年

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小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇二

基本概念

第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一

概念

（一）整數(shù)整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù),。

自然數(shù)

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1，2,，3??叫做自然數(shù),。

一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示,。0也是自然數(shù),。

3計(jì)數(shù)單位

一（個(gè)）、十,、百,、千,、萬(wàn),、十萬(wàn),、百萬(wàn),、千萬(wàn)、億??都是計(jì)數(shù)單位,。

每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10,。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法,。

數(shù)位

計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來(lái),，它們所占的位置叫做數(shù)位,。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù),，我們就說(shuō)a能被b整除,，或者說(shuō)b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除,，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）,。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的,。

因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù),，7是35的約數(shù),。

一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,，最大的 約數(shù)是它本身,。例如：10的約數(shù)有1、2,、5,、10，其中最小的約數(shù)是1,，最大的約數(shù)是10,。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3,、6,、9、12??其中最小的倍數(shù)是3,，沒(méi)有最大的倍數(shù),。

個(gè)位上是0、2,、4,、6、8的數(shù),，都能被2整除,，例如：202、480,、304,，都能被2整除。

個(gè)位上是0或5的數(shù),，都能被5整除,，例如：5、30,、405都能被5整除,。

一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除,，例如：12,、108、204都能被3整除,。

一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除,，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除,，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除,。

一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除,。例如：16,、404、1256都能被4整除,，50,、325、500,、1675都能被25整除,。

一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除,，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168,、4600,、5000、12344都能被8整除,，1125,、13375、5000都能被125整除,。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù),。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù),。自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù),。

一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù),，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）,，100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3,、5,、7、11,、13,、17、19,、23,、29、31,、37,、41、43,、47、53,、59,、61、67,、71,、73、79,、83,、89、97。

一個(gè)數(shù),，如果除了1和它本身還有別的約數(shù),，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4,、6,、8、9,、12都是合數(shù),。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外,，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù),。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù),、合數(shù)和1,。

每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù),，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù),。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái),，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù),，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù),。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),，例如12的約數(shù)有1,、2、3,、4,、6、12,；18的約數(shù)有1,、2、3,、6,、9、18,。其中,，1,、2、3,、6是12和1 8的公約數(shù),，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù),，叫做互質(zhì)數(shù),，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì),。

相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì),。

兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí),，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì),。

兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì),，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù),，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1,。

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù),，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè),，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),，如2的倍數(shù)有2、4,、6,、8、10,、12,、14、16,、18 ??

3的倍數(shù)有3,、6、9,、12、15,、18 ?? 其中6,、12,、18??是2、3的公倍數(shù),，6是它們的最小公倍數(shù),。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),。如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù),，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,。

（二）小數(shù)小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份,、1000份?? 得到的十分之幾,、百分之幾、千分之幾?? 可以用小數(shù)表示,。

一位小數(shù)表示十分之幾,，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾??

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分,、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成,。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分,，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里,，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10,。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù),，叫做純小數(shù),。例如： 0.25、0.368 都是純小數(shù),。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù),，叫做帶小數(shù)。例如： 3.25,、5.26 都是帶小數(shù),。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù),。例如： 41.7,、25.3、0.23 都是有限小數(shù),。

無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù),，叫做無(wú)限小數(shù),。例如： 4.33 ?? 3.1415926 ??

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限,，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù),。例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn),，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù),。例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ??

一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié),。例如： 3.99 ??的循環(huán)節(jié)是“ 9 ”,，0.5454 ??的循環(huán)節(jié)是“ 54 ”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的,，叫做純循環(huán)小數(shù),。例如： 3.111 ?? 0.5656 ??

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做混循環(huán)小數(shù),。3.1222 ?? 0.03333 ??

寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候,，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié),，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首,、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán) 節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字,，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn),。例如： 3.777 ?? 簡(jiǎn)寫作

0.5302302 ?? 簡(jiǎn)寫作。

（三）分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份,，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù),。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù),，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份,；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子,，表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份,，表示其中的一份的數(shù),，叫做分?jǐn)?shù)單位。

分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),。真分?jǐn)?shù)小于1,。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1,。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù),，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

約分和通分

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子,、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分,。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù),，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),，叫做通分,。

（四）百分?jǐn)?shù) 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率 或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來(lái)表示,。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào),。

二

方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀,。讀億級(jí),、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀,，再在后面加一個(gè)“億”或“萬(wàn)”字,。每一級(jí)末尾的0都不讀出來(lái)，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零,。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位,，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有,，就在那個(gè)數(shù)位上寫0,。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”,，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候,，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來(lái)寫,，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,。

5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí),，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來(lái)讀,。

6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線,，再寫分母，最后寫分子,，按照整數(shù)的寫法來(lái)寫,。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí),，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù),，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來(lái)讀,。

8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%”來(lái)表示,。

（二）數(shù)的改寫

一個(gè)較大的多位數(shù),，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù),。有時(shí)還可以根據(jù)需要,，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù),。

1.準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中,，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬(wàn)或億為單位的數(shù),。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù),。例如把 1254300000 改寫成以萬(wàn)做單位的數(shù)是 125430 萬(wàn)；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億,。

2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要,，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù),，用一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示,。例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小,，就把尾數(shù)去掉,；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去,，并向它的前一位進(jìn)1,。例如：省略 345900 萬(wàn)后面的尾數(shù)約是 35 萬(wàn)。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億,。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大,，如果位數(shù)相同,，就看最高位，最高位上的數(shù)大,，那個(gè)數(shù)就大,；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大,。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大,；整數(shù)部分相同的,，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的,，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大??

3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù),，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù),，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的,，先通分,，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù),，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母,，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分,。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子,。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡,，不能化成有限小數(shù)的,，一般保留三位小數(shù)。

3.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),，如果分母中除了2和5以外,，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù),；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù),，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位,，同時(shí)在后面添上百分號(hào),。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉,，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位,。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)),，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù),。

7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),，通常用短除法,。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式,。

2.求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止,，然后把所有的除數(shù)連乘求積,，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除,，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止,，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì) ,； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí),，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì),； 兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子,、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止,。

通分的方法：先求出原來(lái)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù),，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

三

性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里,，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍,，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變,。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位,，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位,，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大100倍,；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍??

2.小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位,，原來(lái)的數(shù)就縮小10倍,；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就縮小100倍,；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位,，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍??

3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí),，要用“0"補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外）,，分?jǐn)?shù)的大小不變,。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù)

2.因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零,。

3.被除數(shù) 相當(dāng)于分子,，除數(shù)相當(dāng)于分母。

四

運(yùn)算的意義

（一）整數(shù)四則運(yùn)算

1整數(shù)加法：

把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法,。

在加法里,，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和,。加數(shù)是部分?jǐn)?shù),，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)=和

一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法,。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù),，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差,。被減數(shù)是總數(shù),，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算,。

3整數(shù)乘法：

求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法,。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù),。相同加數(shù)的和叫做積,。

在乘法里,，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個(gè)因數(shù)× 一個(gè)因數(shù) =積

一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)

整數(shù)除法：

已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里,，已知的積叫做被除數(shù),，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù),，所求的因數(shù)叫做商,。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里,，0不能做除數(shù),。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個(gè)數(shù)除以0,，均得不到一個(gè)確定的商,。

被除數(shù)÷除數(shù)=商

除數(shù)=被除數(shù)÷商

被除數(shù)=商×除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同,。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算,。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù),，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾,、千分之幾??是多少,。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算,。

5.乘方:

求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同,。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算,。

2.分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同,。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算,。

3.分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同,，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

4.乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù),。

5.分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算,。

（四）運(yùn)算定律

1.加法交換律：

兩個(gè)數(shù)相加,，交換加數(shù)的位置，它們的和不變,，即a+b=b+a,。

2.加法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加,，再加上第三個(gè)數(shù),；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變,，即（a+b)+c=a+(b+c),。

3.乘法交換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變,，即a×b=b×a,。

4.乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘,，再乘以第三個(gè)數(shù),；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘,，它們的積不變,，即(a×b)×c=a×(b×c),。5.乘法分配律：

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘,，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。

6.減法的性質(zhì)：

從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù),，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變,，即a-b-c=a-(b+c),。

（五）運(yùn)算法則

1.整數(shù)加法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊,，從低位加起,，哪一位上的數(shù)相加滿十,，就向前一位進(jìn)一,。

2.整數(shù)減法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊,，從低位加起,，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十,，和本位上的數(shù)合并在一起，再減,。

3.整數(shù)乘法計(jì)算法則：

先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位,，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái),。

4.整數(shù)除法計(jì)算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù),，就看被除數(shù)的前幾位,； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位,，商就寫在哪一位的上面,。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位,。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù),。

5.小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),，就從積的右邊起數(shù)出幾位,，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠,，就用“0”補(bǔ)足,。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊,；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除,。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：

先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn),，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”）,，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算,。

8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減,，分母不變,。

9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法: 先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算,。

10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法: 整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減,，再把所得的數(shù)合并起來(lái)。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則: 分?jǐn)?shù)乘整數(shù),，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),，用分子相乘的積作分子,，分母相乘的積作分母。

12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則: 甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外）,，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù),。

（六）運(yùn)算順序

1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同,。

3.沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算: 同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算,；兩級(jí)運(yùn)算 先算乘,、除法，后算加減法,。

4.有括號(hào)的混合運(yùn)算: 先算小括號(hào)里面的,，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的,。

5.第一級(jí)運(yùn)算：

加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。

6.第二級(jí)運(yùn)算：

乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算,。

五

應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用題

（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系,，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題,。

（2）解題步驟：

a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容,，知道應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí),，不丟字不添字邊讀邊思考,，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題,，幫助理解題意,。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么,，要求什么著手,，逐步根據(jù)所給的條件和問(wèn)題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義,，分析數(shù)量關(guān)系,，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱,。

c檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確,，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,，馬上改正,。復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題,，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題,。

（2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題,。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題,。

（3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù),，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）,。

已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù),，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除應(yīng)用題,。

（5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題,。

（6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法,、乘法和除法的應(yīng)用題,，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu),、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同,，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,，先口答,，逐步過(guò)渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少,，乙數(shù)是多少,，求甲乙兩數(shù)的和是多少。

b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少,，求乙數(shù)是多少,。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分,。

-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少,，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少,。

c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少,，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少,。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù),，求總數(shù)。

b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少,，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍,，求另一個(gè)數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份,，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的,，求每一份是多少。

b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少,，求可以分成幾份,。

c 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍,。

d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少,，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題,。

（7）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：

總價(jià)= 單價(jià)×數(shù)量

路程= 速度×?xí)r間

工作總量=工作時(shí)間×工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題,。

（1）平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展,。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù),，求平均每份是多少,。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù),，求總平均數(shù)是多少,。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分,，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù),。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù),。

例：一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開(kāi)往乙地,，又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙地開(kāi)往甲地。求這輛車的平均速度,。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式,。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”,，從甲地到乙地的速度為 100,，所用的時(shí)間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米,，所用的時(shí)間是,，汽車共行的時(shí)間為

+ = , 汽車的平均速度為 2 ÷

=75（千米）

（2）歸一問(wèn)題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變,，另一種量也隨之而改變,，其變化的規(guī)律是相同的，這種問(wèn)題稱之為歸一問(wèn)題,。

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少,，歸一問(wèn)題可以分為一次歸一問(wèn)題，兩次歸一問(wèn)題,。

根據(jù)球癡單一量之后,，解題采用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題,，反歸一問(wèn)題,。

一次歸一問(wèn)題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題,。又稱“單歸一,?！?/p>

兩次歸一問(wèn)題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題,。又稱“雙歸一,。”

正歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后,，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題,。

反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題,。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量）,，然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果,。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例 一個(gè)織布工人,，在七月份織布 4774 米，照這樣計(jì)算,，織布 6930 米,，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米,，就是單一量,。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）

（3）歸總問(wèn)題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)）,，通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）,。

特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化,，另一種量也跟著變化,，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通,。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量

單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量,。

例 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米,，6 天修完,。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米,？

分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度,，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn)題”,。不同之處是“歸一”先求出單一量,，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量,，再求單一量,。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）

（4）和差問(wèn)題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和,，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問(wèn)題,。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和）,，然后再求另一個(gè)數(shù)。

解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù)

大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù)

和－小數(shù)= 大數(shù)

例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作,，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人,？

分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班,，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班,，即 9 4 － 12,，由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87（人）,，甲班為 9 4 － 87=7（人）

（5）和倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系,，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問(wèn)題,。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說(shuō)來(lái),，題中說(shuō)是“誰(shuí)”的幾倍,，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少,。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)

例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛,，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛,，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi),，為了使總數(shù)與（5+1）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛,。

列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛）,，18 × 5+7=97（輛）

（6）差倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題,。

解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。

例 甲乙兩根繩子,，甲繩長(zhǎng) 63 米,，乙繩長(zhǎng) 29 米,，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度,，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩 長(zhǎng)的 3 倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米,？ 各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段,，長(zhǎng)度差沒(méi)變,，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的 3 倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍,，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù),。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長(zhǎng)度，17 × 3=51（米）?甲繩剩下的長(zhǎng)度,，29-17=12（米）?剪去的長(zhǎng)度,。

（7）行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車等問(wèn)題,，一般都是計(jì)算路程,、時(shí)間、速度,，叫做行程問(wèn)題,。解答這類問(wèn)題首先要搞清楚速度、時(shí)間,、路程,、方向、杜速度和,、速度差等概念,，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問(wèn)題的規(guī)律解答,。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間,。

同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間

同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=路程速度差,。同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后,，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。

例 甲在乙的后面 28 千米,，兩人同時(shí)同向而行,，甲每小時(shí)行 16 千米，乙每小時(shí)行 9 千米,，甲幾小時(shí)追上乙,？

分析：甲每小時(shí)比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（16-9）千米，這是速度差,。

已知甲在乙的后面 28 千米（追擊路程）,，28 千米 里包含著幾個(gè)（16-9）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間,。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小時(shí)）

（8）流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水”中航行的問(wèn)題,。它是行程問(wèn)題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問(wèn)題,。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用,。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動(dòng)的速度,。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度,。

順?biāo)?船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速的差,，所以流水問(wèn)題當(dāng)作和差問(wèn)題解答,。解題時(shí)要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時(shí)間

路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間

例 一只輪船從甲地開(kāi)往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行 28 千米,，到乙地后，又逆水 航行,，回到甲地,。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千米,。求甲乙兩地相距多少千米,？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間,。已知順?biāo)俣群退?速度,，因此不難算出逆水的速度,，但順?biāo)玫臅r(shí)間,，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí),，抓住這一點(diǎn),，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程,。列式為 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小時(shí)）28 × 5=140（千米）,。

（9）還原問(wèn)題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過(guò)一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果,，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題,，我們叫做還原問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā),，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法,，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系,，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù),。

解答還原問(wèn)題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法,，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào),。

例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班,，三班調(diào) 6 人到二班,，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班,，則四個(gè)班的人數(shù)相等,，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí),，應(yīng)為 168 ÷ 4,，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人,，又從一班調(diào)入 2 人,，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38（人）,；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45（人）,。

（10）植樹(shù)問(wèn)題：這類應(yīng)用題是以“植樹(shù)”為內(nèi)容。凡是研究總路程,、株距,、段數(shù)、棵樹(shù)四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題,，叫做植樹(shù)問(wèn)題,。

解題關(guān)鍵：解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形,，從而確定是沿線段植樹(shù)還是沿周長(zhǎng)植樹(shù),，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：沿線段植樹(shù)

棵樹(shù)=段數(shù)+1

棵樹(shù)=總路程÷株距+1

株距=總路程÷（棵樹(shù)-1）

總路程=株距×（棵樹(shù)-1）

沿周長(zhǎng)植樹(shù)

棵樹(shù)=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹(shù)

總路程=株距×棵樹(shù)

例 沿公路一旁埋電線桿 301 根,，每相鄰的兩根的間距是 50 米,。后來(lái)全部改裝，只埋了201 根,。求改裝后每相鄰兩根的間距,。

分析：本題是沿線段埋電線桿,，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈虧問(wèn)題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品,，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中,，一次有余,，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足）,，已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問(wèn)題,，叫做盈虧問(wèn)題,。

解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額）,，用前一個(gè)差去除后一個(gè)差,，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù),。

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余,，第二次不足，總差額=多余+ 不足

第一次正好,，第二次多余或不足，總差額=多余或不足

第一次多余,，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次不足,，第二次也不足,，總差額= 大不足-小不足

例 參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆,，如果小組 10 人,，則多 25 支，如果小組有 12 人,，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支,？共有多少支色鉛筆？

分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人,，比 10 人多 2 人,，而色筆多出了（25-5）=20 支，2 個(gè)人多出 20 支,，一個(gè)人分得 10 支,。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）。

（12）年齡問(wèn)題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件,，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問(wèn)題”,。

解題關(guān)鍵：年齡問(wèn)題與和差、和倍,、差倍問(wèn)題類似,，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng),，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的,，因此，年齡問(wèn)題是一種“差不變”的問(wèn)題,，解題時(shí),，要善于利用差不變的特點(diǎn)。

例 父親 48 歲,，兒子 21 歲,。問(wèn)幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？

分析：父子的年齡差為 48-21=27（歲）,。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍,，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡,，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍,。列式為： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）雞兔問(wèn)題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題,。通常稱為“雞兔問(wèn)題”又稱雞兔同籠問(wèn)題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問(wèn)題一般采用假設(shè)法,，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差,，可推算出某一種的頭數(shù),。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例 雞兔同籠共 50 個(gè)頭,，170 條腿,。問(wèn)雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）

雞的只數(shù) 50-35=15（只）

第三章 代數(shù)初步知識(shí)

一,、用字母表示數(shù) 用字母表示數(shù)的意義和作用

* 用字母表示數(shù),，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來(lái),，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。

2用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系,、運(yùn)算定律和性質(zhì),、幾何形體的計(jì)算公式

（1）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系

路程用s表示，速度v用表示,，時(shí)間用t表示,，三者之間的關(guān)系：

s=vt

v=s/t t=s/v

總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示,，數(shù)量用c表示,，三者之間的關(guān)系: a=bc b=a/c c=a/b

（2）運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba 乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示,，周長(zhǎng)用c表示,，面積用s表示。

c=2(a+b)s=ab

正方形的邊長(zhǎng)a用表示,，周長(zhǎng)用c表示,，面積用s表示。

c=4a s=a2

平行四邊形的底a用表示,，高用h表示,，面積用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示,，高用h表示,，面積用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示,，下底b用表示,，高用h表示，中位線用m表示,，面積用s表示,。

s=(a+b)h/2 s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示,，周長(zhǎng)用c表示,，面積用s表示。

c=∏d=2∏r s=∏ r2

扇形的半徑用r表示,，n表示圓心角的度數(shù),，面積用s表示。

s=∏ nr2/360

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示,，寬用b表示,，高用h表示，表面積用s表示,，體積用v表示,。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)v=abh

正方體的棱長(zhǎng)用a表示,，底面周長(zhǎng)c用表示,，底面積用s表示,，體積用v表示.s=6a2

v=a3

圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示,，底面積用s表示,，體積用v表示.s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+2s底

v=sh

圓錐的高用h表示，底面積用s表示,，體積用v表示.v=sh/3 用字母表示數(shù)的寫法

數(shù)字和字母,、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”,，或者省略不寫,，數(shù)字要寫在字母的前面。

當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí),，“1”省略不寫,。

在一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量,，不同的量用不同的字母表示,。

用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫成分母,，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào),，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱,。

4將數(shù)值代入式子求值

* 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí),，要注意書(shū)寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式,，再把數(shù)代入式子求值,。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱,。

* 同一個(gè)式子,，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同,。

二,、簡(jiǎn)易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

注意方程是等式,，又含有未知數(shù),，兩者缺一不可。

方程和算術(shù)式不同,。算術(shù)式是一個(gè)式子,，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成,，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式,，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算,，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立,。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,，叫做方程的解。

三,、解方程

解方程,，求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

四,、列方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題的意義

* 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法,。

列方程解答應(yīng)用題的步驟

* 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示,；

* 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系,；

* 列方程，解方程,；

* 檢查或驗(yàn)算,，寫出答案。

3列方程解應(yīng)用題的方法

* 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式,，再找出它們之間的等量關(guān)系,，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過(guò)程,，其思考方向是從已知到未知,。

* 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要,，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程,。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知,。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題,；

b和倍、差倍問(wèn)題,；

c幾何形體的周長(zhǎng),、面積、體積計(jì)算,； d 分?jǐn)?shù),、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e 比和比例應(yīng)用題。

五

比和比例

1比的意義和性質(zhì)

（1）比的意義

兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比,。

“：”是比號(hào),，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng),，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng),。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值,。

同除法比較,，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù),，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù),，比值相當(dāng)于商。

比值通常用分?jǐn)?shù)表示,，也可以用小數(shù)表示,，有時(shí)也可能是整數(shù)。

比的后項(xiàng)不能是零,。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母,，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值,。

（2）比的性質(zhì)

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變,，這叫做比的基本性質(zhì),。

（3）

求比值和化簡(jiǎn)比

求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù),，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù),。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比,，即前,、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。

（4）比例尺

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺

要求會(huì)求比例尺,；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離,；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段,，用來(lái)表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離,。

（5）按比例分配

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配,。這種分配的方法通常叫做按比例分配,。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少,。

比例的意義和性質(zhì)

（1）比例的意義

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例,。

組成比例的四個(gè)數(shù),，叫做比例的項(xiàng)。

兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng),，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng),。

（2）比例的性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積,。這叫做比例的基本性質(zhì),。

（3）解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng),，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng),。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例,。

正比例和反比例

（1）成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化，另一種量也隨著變化,，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定,，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系,。

用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量,，一種量變化，另一種量也隨著變化,，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系,。

用字母表示x×y=k(一定)

第四章 幾何的初步知識(shí)

一 線和角

（1）線

* 直線

直線沒(méi)有端點(diǎn),；長(zhǎng)度無(wú)限；過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條,，過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)一條直線,。

* 射線

射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限,。

* 線段

線段有兩個(gè)端點(diǎn),，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限,；兩點(diǎn)的連線中,，線段為最短。

*平行線

在同一平面內(nèi),，不相交的兩條直線叫做平行線,。

兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。

* 垂線

兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直,，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足,。

從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。

（2）角

（1）從一點(diǎn)引出兩條射線,，所組成的圖形叫做角,。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊,。

（2）角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角,。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角,。

平角：角的兩邊成一條直線,，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180°,。

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周,，與另一邊重合。周角是360°,。

二平面圖形

1長(zhǎng)方形

（1）特征

對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形,。有兩條對(duì)稱軸,。

（2）計(jì)算公式

c=2(a+b)s=ab 2正方形

（1）特征：

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形,。有4條對(duì)稱軸,。（2）計(jì)算公式

c=4a s=a2

3三角形

（1）特征

由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度,。三角形具有穩(wěn)定性,。三角形有三條高。

（2）計(jì)算公式

s=ah/2

（3）分類

按角分

銳角三角形 ：三個(gè)角都是銳角,。

直角三角形 ：有一個(gè)角是直角,。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸,。

鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角,。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等,；兩個(gè)底角相等,；有一條對(duì)稱軸。

等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等,；三個(gè)內(nèi)角都是60度,；有三條對(duì)稱軸。

4平行四邊形

（1）

特征

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。

相對(duì)的邊平行且相等,。對(duì)角相等,，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形,。

（2）計(jì)算公式

s=ah 5 梯形

（1）特征

只有一組對(duì)邊平行的四邊形,。

中位線等于上下底和的一半。

等腰梯形有一條對(duì)稱軸,。

（2）公式

s=(a+b)h/2=mh 6 圓

（1）圓的認(rèn)識(shí)

平面上的一種曲線圖形,。

圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示,。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑,。一般用r表示。

在同一個(gè)圓里,，有無(wú)數(shù)條半徑,，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。

通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑,。一般用d表示,。

同一個(gè)圓里有無(wú)數(shù)條直徑，所有的直徑都相等,。

同一個(gè)圓里,，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r,。

圓的大小由半徑?jīng)Q定,。圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

（2）圓的畫(huà)法

把圓規(guī)的兩腳分開(kāi),，定好兩腳間的距離（即半徑）,；

把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周,，就畫(huà)出一個(gè)圓,。

（3）圓的周長(zhǎng)

圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。

把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率,。用字母∏表示,。

（4）圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積。

（5）計(jì)算公式

d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r

s=∏r2

7扇形

（1）

扇形的認(rèn)識(shí)

一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形,。

圓上ab兩點(diǎn)之間的部分叫做弧,，讀作“弧ab”。

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角,。

在同一個(gè)圓中,，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān),。

扇形有一條對(duì)稱軸。

(2)計(jì)算公式

s=n∏r2/360 8環(huán)形

(1)特征

由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成,，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,。

(2)計(jì)算公式

s=∏(r2-r2）

9軸對(duì)稱圖形

(1)特征

如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合,，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形,。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。

正方形有4條對(duì)稱軸,，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸,。

等腰三角形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸,。

等腰梯形有一條對(duì)稱軸,，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

菱形有4條對(duì)稱軸,，扇形有一條對(duì)稱軸,。

三 立體圖形

（一）長(zhǎng)方體

特征

六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。

相對(duì)的面面積相等,，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等,。

有8個(gè)頂點(diǎn)。

相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng),、寬,、高。

兩個(gè)面相交的邊叫做棱,。

三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

把長(zhǎng)方體放在桌面上,，最多只能看到三個(gè)面,。

長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積,。計(jì)算公式

s=2(ab+ah+bh)v=sh v=abh

（二）正方體

特征

六個(gè)面都是正方形

六個(gè)面的面積相等

12條棱,，棱長(zhǎng)都相等

有8個(gè)頂點(diǎn)

正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體

計(jì)算公式

s表=6a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱的認(rèn)識(shí)

圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。

圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面,。

圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高,。

進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些,，因此,，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小,，都要向前一位進(jìn)1,。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法,。2計(jì)算公式

s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3

（四）圓錐

圓錐的認(rèn)識(shí)

圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面,。

從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高,。

測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面,，豎直地量出平板和底面之間的距離,。

把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)扇形。2計(jì)算公式

v= sh/3

（五）球

認(rèn)識(shí)

球的表面是一個(gè)曲面,，這個(gè)曲面叫做球面,。

球和圓類似，也有一個(gè)球心,，用o表示,。

從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示,，每條半徑都相等,。

通過(guò)球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑,，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍,，即d=2r。

計(jì)算公式

-第五章 簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)

一

統(tǒng)計(jì)表

（一）意義

* 把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內(nèi),，用來(lái)反映情況,、說(shuō)明問(wèn)題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計(jì)表,。

（二）組成部分

* 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分,。表格外部分包括標(biāo)的名稱，單位說(shuō)明和制表日期,；表格內(nèi)部包括表頭,、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面,。

（三）種類

* 單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表,。

* 復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。

* 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量,，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表,。

（四）制作步驟

1搜集數(shù)據(jù)

2整理數(shù)據(jù)：

要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類,。

3設(shè)計(jì)草表：

要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容,、分欄格畫(huà)法，規(guī)定橫欄,、豎欄各需幾格,，每格長(zhǎng)度,。正式制表：

把核對(duì)過(guò)的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求,，用簡(jiǎn)單,、明確的語(yǔ)言寫上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表日期。

二

統(tǒng)計(jì)圖

（一）意義

* 用點(diǎn)線面積等來(lái)表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖,。

（二）分類條形統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量,，根據(jù)數(shù)量的多少畫(huà)成長(zhǎng)短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來(lái),。

優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少,。

注意：畫(huà)條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同,。

取一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定,；

復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開(kāi),，并在制圖日期下面注明圖例,。

制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線,。

（2）在水平射線上,，適當(dāng)分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔,。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況,，確定單位長(zhǎng)度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫(huà)出長(zhǎng)短不同的直條,，并注明數(shù)量,。

折線統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn),，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái),。

優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況,。

注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間時(shí),，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來(lái)確定,。

制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線,。

（2）在水平射線上,，適當(dāng)分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔,。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況,，確定單位長(zhǎng)度表示多少,。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái),，并注明數(shù)量,。

3扇形統(tǒng)計(jì)圖

用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù),。

優(yōu)點(diǎn)：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系,。

制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟：

（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù),。

（3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆?huà)一個(gè)圓,，并按照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形,。

（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù),，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開(kāi)。

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇三

乘法與因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)?

a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a-b-√(b^2-4ac)/2a根與系數(shù)的關(guān)系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式

b^2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b^2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根 

b^2-4ac<0 注：方程沒(méi)有實(shí)根,，有共軛復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)

cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)

cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)

倍角公式

tan2a=2tana/[1-(tana)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^

2半角公式

sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)

cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)

tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化積

2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)

2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b))

2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)

-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)

sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2

cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2-

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/

41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/

3正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注：其中 r 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosb 注：角b是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程 x^2+y^2+dx+ey+f=0 注：d^2+e^2-4f>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

直棱柱側(cè)面積 s=c*h 斜棱柱側(cè)面積 s=c'*h

正棱錐側(cè)面積 s=1/2c*h' 正棱臺(tái)側(cè)面積 s=1/2(c+c')h'

圓臺(tái)側(cè)面積 s=1/2(c+c')l=pi(r+r)l 球的表面積 s=4pi*r2

圓柱側(cè)面積 s=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 s=1/2*c*l=pi*r*l

弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

錐體體積公式 v=1/3*s*h 圓錐體體積公式 v=1/3*pi*r2h 

斜棱柱體積 v=s'l 注：其中,s'是直截面面積,，l是側(cè)棱長(zhǎng)

柱體體積公式 v=s*h 圓柱體 v=pi*r2h

定理

平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng) 線段成比例87 推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）,，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,，那么這條直線平行于三角形的第三邊

平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線,，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例

定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交,，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理1 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（asa）

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,，兩三角形相似（sas）

判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例,，兩三角形相似（sss）

定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三 角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

性質(zhì)定理1 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

性質(zhì)定理2 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,，任意銳角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等 于它的余角的正切值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的**

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的**

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,，是以定點(diǎn)為圓心,，定長(zhǎng)為半 徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,，是這個(gè)角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡,，是和這兩條平行線平行且距 離相等的一條直線

109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,，并且平分弦所對(duì)的兩條?、谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,，垂直平分弦,，并且平分弦所對(duì)的另一條弧112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理 在同圓或等圓中,，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦 相等,，所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論 在同圓或等圓中,，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧,、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

116定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

118推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角,；90°的圓周角所 對(duì)的弦是直徑

119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,，那么這個(gè)三角形是直角三角形

120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它 的內(nèi)對(duì)角121①直線l和⊙o相交 d＜r

②直線l和⊙o相切 d=r

③直線l和⊙o相離 d＞r

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇四

數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式

1,、正方形：c周長(zhǎng) s面積 a邊長(zhǎng)

周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4c=4a

面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)s=a×a2,、正方體：v:體積 a:棱長(zhǎng)

表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6s=a×a×6

體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)v=a×a×a3、長(zhǎng)方形： c周長(zhǎng) s面積 a邊長(zhǎng)

周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2c=2(a+b)

面積=長(zhǎng)×寬s=ab4,、長(zhǎng)方體

v:體積 s:面積 a:長(zhǎng) b: 寬 h:高

(1)表面積(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2s=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長(zhǎng)×寬×高v=abh5,、三角形s面積 a底 h高

面積=底×高÷2s=ah÷2

三角形高=面積 ×2÷底

三角形底=面積 ×2÷高

6、平行四邊形：s面積 a底 h高面積=底×高s=ah7,、梯形：s面積 a上底 b下底 h高面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2

分?jǐn)?shù)部分

1,、分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù),，叫做分?jǐn)?shù),。

2、分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減,，只把分子相加減,，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減,，先通分,，然后再加減。

3,、分?jǐn)?shù)大小的比較：同分母的分?jǐn)?shù)相比較,，分子大的大，分子小的小,。

4,、異分母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較,；若分子相同，分母大的反而小,。

5,、分?jǐn)?shù)乘整數(shù),，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變,。

6,、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子,，分母相乘的積作為分母,。

7、分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外）,，等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù),。

8、真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),。

9,、假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1,。

10,、帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式，叫做帶分?jǐn)?shù),。

11,、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變,。

12,、一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù),。

13,、甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù),。

偶數(shù)和奇數(shù)：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù),。不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）,。

合數(shù)：一個(gè)數(shù),，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù),。1不是質(zhì)數(shù),，也不是合數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇五

一,、公式s 圓柱表面積?2?r?2?rl?2?r(r?l)

??(r??r?r?l?rl)222 s圓臺(tái)表面積

s圓錐表面積??r(r?l)s圓柱側(cè)=2πrl s圓臺(tái)側(cè)=πl(wèi)（r+r)s圓錐側(cè)=πrl

s球=4πr2s直棱柱側(cè)=ch（c為底面周長(zhǎng),，h為高）s正棱錐側(cè)=ch(c為底面周長(zhǎng)，h為側(cè)面等腰三角形底邊上的高)s棱臺(tái)側(cè)=（c+c）h(c、c 為上下底面周長(zhǎng),，h 為側(cè)面等腰梯形的高)

v錐?13?r3v球?

v臺(tái)?1

323?r3s?s?s)h 3v柱??r

二,、定理(s?? a?l?

?b?l??l??① 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi),。a???

?

b???② 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),，有且只有一個(gè)平面。?

1）過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn),，有且只有一個(gè)平面,。

2）過(guò)兩條相交/平行直線有且只有一個(gè)平面。

③如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線,。

p??,且p???????l,且p?l

④空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),。

⑤平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,，則該直線與此平面平行。（線線平行→線面平行）⑥一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,，則這兩個(gè)平面平行,。

⑦如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)兩條直線，則面面平行,。

⑧一條直線與一個(gè)平面平行,，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（線面平行→線線平行）

⑨如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,，那么它們的交線平行,。（面面平行→線線平行）

⑩一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直,。（線線垂直→線面垂直）?一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,，則這兩個(gè)平面垂直。（線面垂直→面面垂直）

?垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,。

?兩個(gè)平面垂直,，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。（面面垂直→線面垂直）