作為一名老師,，常常要根據(jù)教學需要編寫教案,，教案是教學活動的依據(jù)，有著重要的地位,。那么問題來了,，教案應該怎么寫？以下是小編為大家收集的教案范文,，僅供參考,，大家一起來看看吧。

導數(shù)概念的教學目標 導數(shù)概念及其幾何意義教案設計篇一

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數(shù)的概念,，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理,、幾何解釋,；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導數(shù)；明確一點處的導數(shù)與單側導數(shù),、可導與連續(xù)的關系,。

【教學重點】：在一點處導數(shù)的定義?！窘虒W難點】：在一點處導數(shù)的幾種等價定義及其應用,。【教學方法】：系統(tǒng)講授,，問題教學,，多媒體的利用等?！窘虒W過程】：

一）導數(shù)的思想的歷史回顧

導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐,。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（fermat）為研究極值問題而引入的,，但導數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學家牛頓（newton）和德國數(shù)學家萊布尼茲（leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的,。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt,，t?[0,t]，求：落體在t0時刻（t0?[0,t]）的瞬時速度,。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻,，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度,。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點m(x0,y0),，求：m點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義,；設曲線c及曲線c上的一點m,，如圖，在m外c上另外取一點n,，作割線mn,，當n沿著c趨近點m時，如果割線mn繞點m旋轉而趨于極

1 限位置mt,，直線mt就稱為曲線c在點m處的切線,。

問題解決：取在c上m附近一點n(x,y)，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時,，若上式極限存在,，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0為點m處的切線的斜率。

上述兩問題中,，第一個是物理學的問題,，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科,，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題,。事實上，在學習物理學時會發(fā)現(xiàn),，在計算諸如物質比熱,、電流強度、線密度等問題中,，盡管其背景各不相同,，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究,，促使“導數(shù)”的概念的誕生,。

三）導數(shù)的定義

定義

設函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數(shù)f在點x0處可導,，并稱該極限為f在點x0處的導數(shù),，記作f(x0)。即

f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x,，odydx,，x?xodf(x)。若上述極限不存在,，則稱f在點x0處不可導,。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0,，如果 函數(shù)f在點x0處可導,，可等價表達成為以下幾種形式：

2 f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數(shù)定義求導數(shù)的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數(shù)，并求曲線在點(1,1)處的切線方程,。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2,，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1,。

例2 設函數(shù)f(x)為偶函數(shù),，f?(0)存在，證明：f?(0)?0,。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用,。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性,，可導性,。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

3 ?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導,。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改,，變?yōu)閒(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?,，即可,。

?0,x?0?四）可導與連續(xù)的關系

由上題可知；在一點處連續(xù)不一定可導,。反之，若設f(x)在點x0可導,，則

?y?f(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f(x0)?x?o(?x),，所以當?x?0，有?y?0,。即f在點x0連續(xù),。

故在一點處連續(xù)與可導的關系是：連續(xù)不一定可導，可導一定連續(xù)。

五）單側導數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導,。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1,，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導,。

在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處,，不得不考慮單側導數(shù)：

定義

設函數(shù)y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在,，則稱該極限為f在點x0的右導數(shù),，記作f?(x0)。

?左導數(shù)

f?(x0)?yli?m,。?x?0?x左,、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。

導數(shù)與左,、右導數(shù)的關系：若函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義,，則f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在,，且f?(x0)=f?(x0),。

4 例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性,。

x?0?x , f?(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?(0)?lim??x?0從而f?(0)?f?(0),，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數(shù)的概念,，能準確表達其定義,；

② 注意f(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理,、幾何解釋,； ④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導數(shù)；

⑤ 明確導數(shù)與單側導數(shù),、可導與連續(xù)的關系,。

導數(shù)概念的教學目標 導數(shù)概念及其幾何意義教案設計篇二

第二章 導數(shù)與微分

本章教學目標與要求

理解導數(shù)的概念，會利用導數(shù)定義求導數(shù),。了解導數(shù)的物理意義（速度）,，幾何意義（切線的斜率）和經濟意義（邊際），掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,，導數(shù)的四則運算法則,，復合函數(shù)求導法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導法,，對數(shù)求導法,。理解可導性與連續(xù)性的關系,。了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù),。理解微分的概念,，導數(shù)與微分之間的關系，以及一階微分形式的不變性,，會求函數(shù)的微分,。

本章教學重點與難點

1．導數(shù)概念及其求導法則； 2．隱函數(shù)的導數(shù),； 3．復合函數(shù)求導,；

4．微分的概念，可微和可導的關系,，微分的計算

§2.1 導數(shù)的概念

教學目的與要求

1.理解函數(shù)導數(shù)的概念及其幾何意義.2.掌握基本初等函數(shù)的導數(shù),，會求平面曲線的切線和法線.3.了解導數(shù)與導函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導數(shù)的概念、可導與連續(xù)的關系.教學重點與難點

1.函數(shù)導數(shù)的概念,、基本初等函數(shù)的導數(shù)

2.函數(shù)導數(shù)的概念,、利用定義求函數(shù)在某一點的導數(shù)

一、引例

導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬(fermat)為研究極值問題而引入的,，但與導數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個問題：已知運動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線．這是由英國數(shù)學家牛頓(newton)和德國數(shù)學家萊布尼茨(leibniz)分別在研究力學和幾何學過程中建立起來的．

下面我們以這兩個問題為背景引入導數(shù)的概念．

1．瞬時速度

思考：已知一質點的運動規(guī)律為s?s(t),，t0為某一確定時刻，求質點在t0時刻的速度,。在中學里我們學過平均速度

?s,，平均速度只能使我們對物體在一段時間內的運動大致?t情況有個了解，這不但對于火箭發(fā)射控制不夠,，就是對于比火箭速度慢的多的火車,、汽車運行情況也是不夠的，火車上坡,、下坡,、轉彎、穿隧道時速度都有一定的要求,，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度,，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律.不過瞬時速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據(jù)牛頓第一運動定理,，物體運動具有慣性,，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時間內,，它的速度變化總是不大的,，可以近似看成勻速運動.通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”.設質點運

動的路程是時間的函數(shù) s(t)，則質點在 t0到 t0??t 這段時間內的平均速度為

v?s(t0??t)?s(t0)

?t可以看出它是質點在時刻t0速度的一個近似值,，?t越小,，平均速度 v 與 t0時刻的瞬時速度越接近.故當?t?0時，平均速度v就發(fā)生了一個質的飛躍,，平均速度轉化為物體在t0時刻的瞬時速度,，即物體在 t0時刻的瞬時速度為

v?limv?lim?t?0_s(t0??t)?s(t0)（1）

?t?0?t思考：按照這種思想和方法如何計算自由落體的瞬時速度？ 因為自由落體運動的運動方程為：

s?12gt,，2按照上面的公式,，可知自由落體運動在t0時刻的瞬時速度為

112g(t0??t)2?gt0s(t??t)?s(t0)12v(t0)?lim0?lim2?lim(gt0?g?t)?gt0。?t?0?t?0?t?00?t?t2這正是我們高中物理上自由落體運動的速度公式.2．切線的斜率

思考：圓的的切線的定義是什么,？這個定義適用于一般的切線嗎,？

引導學生得出答案：與圓只有一個交點的直線叫做圓的切線，但這個定義只適用于圓周曲線,，并不適用于一般的曲線.因此,，曲線的某一點的切線應重新定義.（1）切線的概念 曲線c上一點m的切線的是指：在m外另取c上的一點n，作割線mn,，當點n沿曲線c趨向點m時,，如果割線mn繞點m轉動而趨向極限位置mt，直線mt就叫做曲線c在點m處的切線,。簡單說：切線是割線的極限位置,。這里的極限位置的含義是：只要弦長mn趨于0，?nmt也趨向于0.（如圖所示）

（2）求切線的斜率

設曲線c為函數(shù)y?f(x)的圖形,，m(x0,y0)?c,，則y0?f(x0)，點n(x0??x,y0??y)為曲線c上一動點,，割線mn的斜率為：

?yf(x0??x)?f(x0)? ?x?x根據(jù)切線的定義可知,，當點n沿曲線c趨于m時，即?x?0,，割線的斜率趨向于切線的tan??斜率,。也就是說，如果?x?0時,，上式的極限存在,，則此極限便為切線的斜率記為k，即

k?tan??limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

（2）

?x?0?x?x?0?x3.邊際成本

設某產品的成本c是產量x的函數(shù)c?c(x),，試確定產量為x0個單位時的邊際成本,。用前兩例類似的方法處理得：

?cc(x0??x)?c(x0)?表示由產量x0變到x0??x時的平均成本，如果極限 ?x?x?cc(x0??x)?c(x0)lim?

（3）

?x?0?x?x存在,，則此極限就表示產量為x0個單位時成本的變化率或邊際成本,。

思考：上述三個問題的結果有沒有共同點？

上述兩問題中,，第一個是物理學的問題,，第二個是幾何學問題,，第三個是經濟學問題，分屬不同的學科,，但問題都歸結到求形如

lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x的極限問題.事實上,，在學習物理學時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質比熱,、電流強度,、線密度等問題中，盡管其背景各不相同,，但最終都歸化為討論形如（4）的極限問題.為了統(tǒng)一解決這些問題,，引進“導數(shù)”的概念.二、導數(shù)的定義

1．導數(shù)的概念

定義

設函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義,，當自變量x在點x0處取得增量?x（點x0??x仍在該鄰域內）時,，函數(shù)相應地取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果極限

f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在,，則這個極限叫做函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù),，記為

y?x?x0,f(x0),dydxx?x0或df(x)dxx?x0

當函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)存在時，就說函數(shù)f(x)在點x0處可導,，否則就說f(x)在點x0處不可導.特別地,，當?x?0時，點x0處的導數(shù)為無窮大.關于導數(shù)有幾點說明：

（1）導數(shù)除了定義中的形式外,，也可以取不同的形式,，常見的有

?y??，為了方便起見,，有時就說y?f(x)在?xf?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)

hf?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0?yf(x0??x)?f(x0)?反映是自變量 x 從x0改變到x0??x時,，函數(shù)f(x)的?x?x?y平均變化速度，稱為函數(shù)f(x)的平均變化率,；而導數(shù)f(x0)?lim反映的是函數(shù)f(x)?x?0?x（2）在點x0處的變化速度,，稱為函數(shù)f(x)在點x0處的變化率。

2．導函數(shù)的概念

上面講的是函數(shù)在某一點處可導,，如果函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間i的每一點都可導,，就稱函數(shù)y?f(x)在開區(qū)間i內可導，這時,，?x?i,，都對應f(x)的一個確定的導數(shù)值，就構成一個新的函數(shù),，這個函數(shù)叫做y?f(x)的導函數(shù),，記作：

y,f(x),即，導函數(shù)的定義式為：

dydf(x)或,。dxdxy??lim?x?0f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x).或f?(x)?limh?0?xh在這兩個式子中,，x可以取區(qū)間i的任意數(shù),，然而在極限過程中，x是常量,，?x或h才是變量,；并且導數(shù)f(x0)恰是導函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值.3.單側導數(shù)的概念

我們知道在極限有左、右極限之分,，而導數(shù)實質是一個“比值”的極限。因此,，根據(jù)左右極限的定義,，不難得出函數(shù)左右導數(shù)的概念。

定義

極限lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)和lim?分別叫做函數(shù)?x?0?x?xf(x)在點x0處的左導數(shù)和右導數(shù),，記為f??(x0)和f??(x0).如同左,、右極限與極限之間的關系，顯然：

函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是左導數(shù)f??(x0)和右導數(shù)f??(x0)都存在并且相等.?(a)和f??(b)都存在,，就說f(x)在還應說明：如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導,，且f?閉區(qū)間[a,b]上可導.

三、

1．根據(jù)定義求函數(shù)的導數(shù)的步驟

根據(jù)導數(shù)的定義可以

總結

?yf(x??x)?f(x)? ?x?x?y③ 求極限：y??lim

?x?0?x2．運用舉例 ② 算比值：例

1求y?c的導數(shù)（c為常數(shù)）.解 求增量?y?c?c?0 作比值

取極限

lim?y?0 ?x?y?0

?x?0?x所以

(c)?0

即常量的導數(shù)等于零.例

2求函數(shù)y?xn(x?n?)的導數(shù).解 ?y?(x??x)?x?nxnnn?1?x?n(n?1)n?2x(?x)2???(?x)n,，2!?yn(n?1)n?2?nxn?1?x?x???(?x)n?1,，?x2!?yy?lim?nxn?1，?x?0?x即

(xn)?nxn?1

注意：以后會證明當指數(shù)為任意實數(shù)時,，公式仍成立,，即

(x?)???x??1.例如：(x)?(??r)

12x?1，(x)??1x2

例3 求f(x)?sinx的導數(shù).解

(sinx)?limh?0f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim h?0hhh?limcos(x?)?h?0h22即

sinh2?cosx

(sinx)?cosx.用類似方法,，可求得

(cosx)??sinx.例4 求y?logax(a?0,a?1)(1?)loga(x?h)?logaxx 解 y?lim?limh?0h?0hh

hloga(1?)x11hx?lim?limloga(1?)h

h?0hxxh?0xx?所以 1logae x(logax)?1logae x特別地,，當a?e時，有

(lnx)?1 x

四,、導數(shù)的幾何意義

由前面對切線問題的討論及導數(shù)的定義可知：函數(shù)y?f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點m（x0,f(x0)）處的切線的斜率,。因此，曲線y?f(x)在點m（x0,f(x0)）處的切線方程為

y?y0?f?(x0)(x?x0).思考：曲線某一點處切線和法線有什么關系,？能否根據(jù)點m處切線的斜率求點m處的法線方程,？ 根據(jù)法線的定義：過點m（x0,f(x0)）且垂直于曲線y?f(x)在該點處的切線的直線叫做曲線y?f(x)在點m（x0,f(x0)）處的法線.如果f?(x0)?0，根據(jù)解析幾何的知識可知,，切線與法線的斜率互為倒數(shù),，則可得點m處法線方程為：

y?y0??例5 求雙曲線y?程.1(x?x0).f?(x0)11在點(,2)處的切線的斜率，并寫出該點處的切線方程和法線方

2x解

根據(jù)導數(shù)的幾何意義知,，所求的切線的斜率為：

k?y所以切線的方程為

121?()x12??1x212??4

1y?2??4(x?),，2即 4x?y?4?0.法線的方程為

y?2?11(x?)，42即

2x?8y?15?0.五,、可導與連續(xù)的關系

定理 函數(shù)在某點處可導,，則一定在該點連續(xù).證明：因為如果函數(shù)y?f(x)在點x處可導,，即

?y?f?(x0)?x?0?x，lim從而有

?y?f?(x0)???x,，其中,，??0(?x?0)，于是

?y?f?(x0)?x???x,，因而,，當?x?0時，有?y?0,。這說明函數(shù)f(x)在點x處連續(xù),。

思考：定理的逆命題成立嗎？

例6 討論函數(shù)f(x)?x在x?0處是否可導,。解

因f??(0)?lim?f(0??x)?f(0)?x?lim?1,，?h?0h?0?x?xf(0??x)?f(0)??xf??(0)?lim?lim??1，h?0?h?0??x?x即f(x)在點x?0處的左導數(shù),、右導數(shù)都存在但不相等,，從而f(x)?x在x?0處不可導。

注意：通過例7可知,，函數(shù)f(x)?x在原點（0,0）處雖然連續(xù),，但該點卻不可導，所以函數(shù)在某點處可導,，則一定連續(xù),，反之不一定成立.本節(jié)小結

1.導數(shù)的表達式：limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2.基本初等函數(shù)的導數(shù)：

(c)?0(x)?nx(logax)?nn?1(sinx)?cosx(cosx)??sinx

11logae(lnx)?(ax)?axlna(ex)?ex xx3.可導與連續(xù)的關系：函數(shù)在某點處可導，則一定在該點連續(xù),，反之不一定成立,。4.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點處的導數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點的切線的斜率,。

導數(shù)概念的教學目標 導數(shù)概念及其幾何意義教案設計篇三

《導數(shù)的概念》教學設計

1.教學目標

（1）知識與技能目標：掌握導數(shù)的概念,，并能夠利用導數(shù)的定義計算導數(shù).（2）過程與方法目標：通過引入導數(shù)的概念這一過程，讓學生掌握從具體到抽象,，特殊到一般的思維方法,；領悟極限思想；提高類比歸納,、抽象概括的思維能力．

（3）情感,、態(tài)度與價值觀目標：

通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅,，體會數(shù)學的理性與嚴謹,，激發(fā)學生對數(shù)學知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度．

2.教學重、難點

重點：導數(shù)的定義和利用定義如何計算導數(shù)． 難點：對導數(shù)概念的理解．

3.教學方法

1.教法：引導式教學法

在提出問題的背景下,，給學生創(chuàng)設自主探究,、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數(shù)概念的形成．

2.教學手段：多媒體輔助教學

4.教學過程

（一）情境引入

導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐,。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（fermat）為研究極值問題而引入的,，但導數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學家牛頓（newton）和德國數(shù)學家萊布尼茲（leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的,。

17世紀數(shù)學家遇到的三類問題：

一是光的反射問題,。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀,，古希臘數(shù)學家海倫（heron）就已經證明了光的反射定律：光射向平面時,，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形,，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等,。那么,，對于其他曲線，光又如何反射呢,？這就需要確定曲線的切線,。

cbcbaa

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運動的速度問題。對于直線運動,，速度方向與位移方向相同或相反,，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線,。

三是曲線的交角問題,。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來,，人們對圓弧和直線構成的角——牛頭角（圖3中ab弧與ac構成的角）和弓形角（圖4中ab與acb弧所構成的角）即有過很多爭議,。17世紀數(shù)學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線,。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,t]）的瞬時速度,。

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at,，t?[0,t],，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度,。

問題2已知：曲線y?f(x)上點m(x0,y0),，求：m點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線c及曲線c上的一點m,，如圖,，在m外c上另外取一點n，作割線mn,，當n沿著c趨近點m時,，如果割線mn繞點m旋轉而趨于極限位置mt，直線mt就稱為曲線c在點m處的切線,。

問題解決：取在c上m附近一點n(x,y),，于是割線pq的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線mn的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在,，則極限

k?tan??為點m處的切線的斜率,。

導數(shù)的定義

定義

設函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線mt的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在,，則稱函數(shù)

x?x0

f在點x0處可導,，并稱該極限為f在點x0處的導數(shù)，記作f(x0),。

即 f(x0)?（2）

也可記作y?x?x,，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x),。若上述極限不存在,，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0),，若x?x0則等價于?x?0,，如果 函數(shù)f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式：

f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側導數(shù)的概念

在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處,，不得不考慮單側導數(shù)：

定義

設函數(shù)y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義,，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數(shù),，記作f?(x0),。

?左導數(shù)

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左,、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù),。

導數(shù)與左、右導數(shù)的關系：若函數(shù)y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義,，則f(x0)存在?f?(x0),，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0),。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點x?1處的導數(shù),，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導數(shù)的定義,，并能通過導數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設函數(shù)f(x)為偶函數(shù),，f?(0)存在，證明：f?(0)?0,。

證

f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運用,，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導,。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1,，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導,。

附注：判斷一個函數(shù)在某點處是否可導,，只需要考慮該點處的左右導數(shù)是否相等即可。

（四）應用提高 求曲線y?x在點（－1,，－1）處的切線方程為(a)x?2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小結

本節(jié)課主要學習導數(shù)的基本概念,，在經歷探究導數(shù)概念的過程中，讓學生感受導數(shù)的形成,，并對導數(shù)的幾何意義有較深刻的認識,。

本節(jié)課中所用數(shù)學思想方法：逼近、類比,、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f(1)?2012,，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數(shù)f(x)??2x?3在點（1,，1）處切線的方程。2