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勾股定理證明過(guò)程 勾股定理證明方法篇一
中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭,，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：
周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通,，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量,，那么
怎樣
才能得到關(guān)于
天地得到數(shù)據(jù)呢?”商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí),。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候,，那么它的斜邊‘弦’就必定是5,。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵?！?/p>
從上面所引的這段對(duì)話中,，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了,。稍懂平面幾何餓讀者都知道,，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中,，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,。
用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦(c)來(lái)表示斜邊,，則可得：
勾2+股2=弦2
亦即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí),，我國(guó)古代得到人民對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話,，那么周公與商高的.對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期,，比畢達(dá)哥拉斯要早了
五百
多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例(32+42=52),。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理,，應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)一書(shū)》中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá),。書(shū)中的《勾股章》說(shuō);“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái),，再進(jìn)行開(kāi)方,，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式,，即為：
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即：
c=(a2+b2)(1/2)
中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明,。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的,，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,，用形數(shù)結(jié)合得到方法,，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中,，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形abde是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的,。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為(b-a)2,。于是便可得如下的式子：
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化簡(jiǎn)后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=(a2+b2)(1/2)
趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心,，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截,、割,、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,，既具嚴(yán)密性,，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù),、形數(shù)統(tǒng)一,、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范,。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展,。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已,。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義,。事實(shí)上,，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件。正如當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明,，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)?！?。
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