人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退，寫作可以彌補(bǔ)記憶的不足,，將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來,，也便于保存一份美好的回憶,。范文怎么寫才能發(fā)揮它最大的作用呢？以下是小編為大家收集的優(yōu)秀范文,，歡迎大家分享閱讀,。

等價(jià)無窮小的推理過程 等價(jià)無窮小如何理解篇一

例1 limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

=limx→0x·12x2x3（∵ sinx～x,1-cosx～x22）

=12

此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質(zhì)④做,。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質(zhì)④的條件,，否則得出錯(cuò)誤結(jié)論0,。

例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

用性質(zhì)④直接將等價(jià)無窮小代換進(jìn)去，也可用羅比塔法則做,。

例3 limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 （∵ sinx～x）

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44

（∵ tanx～x）

=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 （∵ tanx～x）

兩種解法的結(jié)果不同,，哪一種正確呢？可以發(fā)現(xiàn)解法1錯(cuò)了,，根源在于錯(cuò)用sinx-xcosx～x-xcosx （注意limx→0sinx-xcosx=-1）,， 由性質(zhì)③ sinx-xcosx并不等價(jià)于x-xcosx 。 從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個(gè)有力工具，但往往需要幾種方法結(jié)合起來運(yùn)用,，特別是恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用等價(jià)無窮小的代換,，能使運(yùn)算簡便，很快得出結(jié)果,。

2.2 在正項(xiàng)級數(shù)的審斂判別法中,，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無窮小的一個(gè)應(yīng)用,。

比較審斂法的極限形式：設(shè)∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項(xiàng)級數(shù),， ① 如果limn→∞unvn=l（0≤l<+∞） ，且級數(shù)∑∞n=1vn收斂,，則級數(shù)∑∞n=1un收斂,。

② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數(shù)∑∞n=1vn發(fā)散,，則級數(shù)∑∞n=1un發(fā)散,。當(dāng)l=1時(shí)，∑un,，∑vn就是等價(jià)無窮小,。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性,，只要已知∑un,，∑vn中某一個(gè)的斂散性，就可以找到另一個(gè)的斂散性,。

例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性

解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂

例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性

解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發(fā)散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發(fā)散

3 等價(jià)無窮小無可比擬的作用

以例3看,，若直接用羅比塔法則會發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)以下結(jié)果：

原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx

=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復(fù)雜，難于求出最后的結(jié)果,。而解法2適時(shí)運(yùn)用性質(zhì)①,，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換,，從而很快地求出正確結(jié)果,。再看一例：

例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出現(xiàn)循環(huán)，此時(shí)用羅比塔法則求不出結(jié)果,。怎么辦,？用等價(jià)無窮小代換。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解,。

由此可看到羅比塔法則并不是萬能的,，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3],。只要充分地掌握好等價(jià)無窮小的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論,。

等價(jià)無窮小的推理過程 等價(jià)無窮小如何理解篇二

無窮小的定義是以極限的形式來定義的,，當(dāng)x→x0時(shí)（或x→∞）時(shí)，limf(x)=0,，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)（或x→∞）時(shí)為無窮小,。

當(dāng)limβα=1，就說β與α是等價(jià)無窮小,。

常見性質(zhì)有：

設(shè)α,，α′，β,，β′,，γ 等均為同一自變量變化過程中的無窮小， ① 若α～α′,，β～β′,， 且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β,，β～γ,，則α～γ

性質(zhì)①表明等價(jià)無窮小量的商的極限求法。性質(zhì)②表明等價(jià)無窮小的傳遞性若能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則,，可繼續(xù)拓展出下列結(jié)論：

③ 若α～α′,，β～β′， 且limβα=c（≠-1）,，則α+β～α′+β′

證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)imβα=c（≠-1）”這個(gè)條件,，千篇一律認(rèn)為“α～α′，β～β′,，則有α+β～α′+β′

④ 若α～α′,，β～β′， 且limaα′±bβ′cα′±dβ′存在,，則當(dāng)aα′±bβ′cα′±dβ′≠0且 limaα±bβcα±dβ存在,，有l(wèi)imaα±bβcα±dβ=limaα′±bβ′cα′±dβ′

此性質(zhì)的證明見文獻(xiàn)[2]，性質(zhì)③,、④在加減法運(yùn)算的求極限中就使等價(jià)無窮小的代換有了可能性,，從而大大地簡化了計(jì)算。但要注意條件“l(fā)imβα=c（≠-1）”,，“aα baihua ′±bβ′cα′±dβ′≠0”的使用,。