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余弦定理實例篇一

秭歸二中董建華

我今年教高一（3）、一（7）班兩班數學,，在證明余弦定理時，上午第二節(jié)在一（3）班上數學，在證明余弦定理時,，我是這樣上課的：

同學們，前一節(jié)課我們學習了正弦定理及其證,，現在請同學們考慮這樣一個問題，已知三角形的兩邊及夾角如何求夾角的對邊,。

即：在△abc中，已知ac?b,bc?a,及?c,，求c。

請同學們思考后回答這個問題,，同學們沉默了

三五分鐘，開始相互討論,，并得出了如下解法：

過a作ad?bc于d，是ad＝acsinc?bcsinc,，cd?accos?bcosc,在rt?abd中，ab2?ad2?bd2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc,，用的是初中的知識，我們請同學們繼續(xù)想,，我們學了向量，能否用向量的知識加以證明呢,？

表現出一片茫然,，并開始畫圖分析,，討論終于得出

????????????????????????????2????????????2????2????????ab?ab?(ac?bc)?(ac?bc)?ac?2ac?bc?bc?ac?2|ac|?|bc|

????2?cos(180?b)?bc?b2?2abcosb?a2,，即。c2?a2?b2?2abcosc 這樣一個余弦定理證明下來,，同學們分析,、觀察,、討論用了近30分鐘,。我覺得這樣上課太浪費時間，這么簡單的問題,，花這么多時間去討論。

于是我在一（7）班一上課就開門見山的說：“前面我們學習了正弦定理及其證明,，這節(jié)課我們主要分析余弦定理，即：,，a2?b2?c2?2bccosa,b2?a2?c2?2accosb,c2?a2?b2?2abcosc ”

現在我們來證明c2?a2?b2?2abcosc ：

????????????????2????????????????證：?ab?ac?bc?ab?ab=（ac?bc）（?ac

?????2????????????2?ac?2ac?bc?bc?b2?2bacosc?a

2即：c2?a2?b2?2abcosc，同理可證其余兩個,，同學們聽懂了沒有，大家齊答聽懂了,。前后不過5 分鐘左右的時間，我當時還感覺我講得不錯,，反正只要學生聽懂了就行。

結果一個星期后,，有一個小測驗，試卷上剛好有一題是用向量的方法證明余弦定理,，成績下來，一（3）班有41人做對了此題,，一（7）班僅有7人做對了此題,。兩個平行班,，一個老師教,，方法不一樣，效果卻相差如此之大，我對此進行了案例反思,。

反思案例：

1、定理的證明重在教師引導,，放手讓學生去發(fā)現、觀察,、分析得出結論，如采取注入式教師,，雖老師一教學生能聽懂，但畢竟不比自己親手得出的東西印象深刻,。

2、引導學生分析問題,，表面上看浪費了許多時間，但教會了學生學習的方法,，以后遇到許多類似的問題根本不需老師重復去教，學生自己會分析,，所以從整體上節(jié)約了時間,。

3,、我在前一節(jié)課完全是以學生為主體,，后一節(jié)課完全是以老師為主體，在課堂教學中,，應將教師的主導作用將學生的主體作用表現出來，讓教學效果達到更優(yōu)化,。

總之，通過兩節(jié)課,，效果的比較,，使我認識到在課堂上要充分引導學生去分析,、觀察、發(fā)現,、討論,、探究問題,，讓學生做課堂的演員，教師僅僅是節(jié)目的主持人,，分工明確，一節(jié)課才是一節(jié)完整的課,。

余弦定理實例篇二

高中數學教學中的“情境.問題.反思.應用”----“余弦定理”教學案例分析

作者： 王兵 發(fā)布日期：2007-11-1

摘要]： 辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的“情境.問題.反思.應用”教學實驗,，旨在培養(yǎng)學的數學問題意識，養(yǎng)成從數學的角度發(fā)現和提出問題,、形成獨立思考的習慣，提高學生解決數學問題的能力,，增強學生的創(chuàng)新意和實踐能力。創(chuàng)設數學情境是前提,，提出問題是重點，解決問題是核心,，應用數學知識是目的，因此所設情境要符合學生的“最發(fā)展區(qū)”,。“余弦定理”具有一定廣泛的應用價值,，教學中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設情境,。

關鍵詞]： 余弦定理；解三角形,；數學情境、教學設計,、教學背景

近幾年教學實踐中我們發(fā)現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難,；學得很苦、太抽象,、太枯燥，要不是升學,，們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少,；許多學生完全依賴于教師的講解，不會自學,，不敢提問題，也不知如何提問題,。說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感,，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數學有所創(chuàng)新呢,？即使有所創(chuàng)新那與學生們所代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長,。建構主義提倡情境式教學,，認為多數學習應與具體情境有關,，只有在決與現實世界相關聯的問題中,，所建構的知識才將更豐富,、更有效和易于遷移,。我們在 2003級進行了“創(chuàng)設數學情境與提出數問題”教學實驗，通過一段時間的教學實驗,，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考,，敢于提出自己關心的問題和想，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究,、索取知識,，增強了學習數學的興趣。,、教材分析

余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本 ?必修）數學第一冊（下）的第五章第九節(jié)的主要內容之一，是解決有關三角形問題的兩個重要定理之一,，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的體運用,，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具,，因此具有廣泛的應用價值,。本節(jié)課是正弦定理,、余弦定理”教學的第二節(jié)課,，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”,。布魯納指出，學生是被動的,、消極的知識的接受者,，而是主動的,、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設學生能夠獨立探究的情境,，引導學生去考，參與知識獲得的過程,。因此，做好“余弦定理”的教學,，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識,，體會聯系、展等辯證觀點,，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題,、解決問題等研究性學習的能力。,、設計思路

構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的,。在日常生活中,，在以往的學習中,，他們已經形成了豐富的經驗,，小到身邊的衣食行，大到宇宙,、星體的運行，從自然現象到社會生活,，他們幾乎都有一些自己的看法,。而且,，有些問題即使他們還沒有接觸過，有現成的經驗,，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗,，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋,。且，這種解釋并不都是胡亂猜測,，而是從他們的經驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設。所以,，教學不能無視學生的這些經驗,，起爐灶,，從外部裝進新知識,，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點,，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的識經驗。

此我們根據“情境--問題”教學模式,，沿著“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數問題作為教學的出發(fā)點,，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境--問題”學習鏈,，學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”,，使教學過程成為學生主動獲取知識,、發(fā)展能力、驗數學的過程,。根據上述精神，做出了如下設計：①創(chuàng)設一個現實問題情境作為提出問題的背景,；②啟發(fā)、引導學生提出自己關的現實問題,，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題,，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突,，揭示解三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機,。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知角形的兩條邊和他們的夾角,，求第三邊。③為了解決提出的問題,，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗,，通過邊bc的垂線得到兩個直角三角形,，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式,，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。

,；二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由明時,，關鍵在于啟發(fā)、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點

生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。,、教學過程、設置情境

動卸貨汽車的車箱采用液壓機構,。設計時需要計算油泵頂桿 bc的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°,，油泵頂點b與箱支點a之間的距離為1.95m，ab與水平線之間的夾角為6°20′,，ac的長為1.40m，計算bc的長（保留三個有效數字）,。、提出問題

：大家想一想,，能否把這個實際問題抽象為數學問題？（數學建模）,，在三角形 abc，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m,，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′，求bc的長,。

：能用正弦定理求解嗎,？為什么,？

能,。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角,；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊,。

：這個問題的實質是什么？

三角形中，已知兩邊和它們的夾角,，求第三邊。（一般化）三角形 abc,，知ac＝b，bc＝a,，角c，求ab,。、解決問題

：請同學們想一想,，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的,？

從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現解法,。（特殊化）

以先在直角三角形中試探一下。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c為直角）斜三角形abc中（如圖3）,，過a作bc邊上的高ad，將斜三角形轉化為直三角形,。（聯想構造）

：垂足 d一定在邊bc上嗎,？

一定,，當角 c為鈍角時,，點d在bc的延長線上。

分類討論,，培養(yǎng)學生從不同的角度研究問題）

銳角三角形 abc中，過a作ad垂直bc交bc于d,，在直角三角形adb中,，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsinc, ＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc

c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 鈍角三角形 abc中,，不妨設角c為鈍角，過a作ad垂直bc交bc的延長線于d,，直角三角形 adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c）,，即ad＝bsinc, cd-bcos c，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc

c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c 2 +b 2-2abcosc 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb 理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa 2 =a 2 +c 2-2accosb ：大家回想一下,，在證明過程易出錯的地方是什么？,、反思應用

：同學們通過自己的努力，發(fā)現并證明了余弦定理,。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關系，請大家考慮一下,，余弦定能夠解決哪些問題,？

三求一,，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊,；已知三角形的三條邊，求角,。

弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,。

：請同學們用余弦定理解決本節(jié)課開始時的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）

：由余弦定理,，得

＝ab 2 ＋ac 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 bc≈1.89(m)：頂桿 bc約長1.89m。

：大家回想一想,，三角形中有六個元素，三條邊及三個角,，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素,？

能，已知的三個元素中,，至少要有一個邊。

：解三角形時,，何時用正弦定理,？何時用余弦定理,？

知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊,，解三角形時，利用正弦定理,；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解角形時,，利用余弦定理。

固練習：課本第 131頁練習1⑵,、2⑵、3⑵,、4⑵、教學反思

課中,，教師立足于所創(chuàng)設的情境,，通過學生自主探索、合作交流,，親身經歷了提出問題、解決問題,、應用反思的過程，學生成為弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”,，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標,、能力目標、情感目標均得到了較好的落實,，為今后的定理教學”提供了一些有用的借鑒。

設數學情境是“情境.問題.反思.應用”教學的基礎環(huán)節(jié),，教師必須對學生的身心特點、知識水平,、教學內容,、教學目標等因素行綜合考慮,，對可用的情境進行比較,，選擇具有較好的教育功能的情境。

應用需要出發(fā),，創(chuàng)設認知沖突型數學情境，是創(chuàng)設情境的常用方法之一,。“余弦定理”具有廣泛的應用價值,，故本課中從應用需出發(fā)創(chuàng)設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應用舉例的例1,。實踐說明,，這種將教材中的例題,、題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設情境的一條有效途徑,。只要教師能對教材進行深入、細致,、全面的研究，便不難發(fā)現教材中不少可用的素材,。

情境.問題.反思.應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體,，如何引導學生提出問題是學成敗的關鍵,，教學實驗表明,，學生能否提出數學問題,，不僅受其數學基礎、生活經歷,、學習方式等自身因素的影響，還受其所的環(huán)境,、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此,，教師不僅要注重創(chuàng)設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有問題”的誘導性,、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態(tài)度,，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題,，一方面要妥善處理學生提出的問題,。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程,；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數活動中所表現出來的情感與態(tài)度,；關注是否給學生創(chuàng)設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把“質疑提問”,，培養(yǎng)學

的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿,。

余弦定理實例篇三

高中數學教學中的“情境.問題.反思.應用”----“余弦定理”教學案例分析

作者：王兵 發(fā)布日期：2007-11-

1[摘要]：辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的“情境.問題.反思.應用”教學實驗,，旨在培養(yǎng)學生的數學問題意識,，養(yǎng)成從數學的角度發(fā)現和提出問題,、形成獨立思考的習慣,，提高學生解決數學問題的能力，增強學生的創(chuàng)新意識和實踐能力,。創(chuàng)設數學情境是前提，提出問題是重點,，解決問題是核心，應用數學知識是目的,，因此所設情境要符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”?！坝嘞叶ɡ怼本哂幸欢◤V泛的應用價值，教學中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設情境,。

[關鍵詞]：余弦定理；解三角形；數學情境

一,、教學設計

1、教學背景

在近幾年教學實踐中我們發(fā)現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要,，但很難,；學得很苦,、太抽象,、太枯燥，要不是升學,，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少,；許多學生完全依賴于教師的講解，不會自學,，不敢提問題，也不知如何提問題,。這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感,，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數學有所創(chuàng)新呢,？即使有所創(chuàng)新那與學生們所花代價也不成比例,，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長,。建構主義提倡情境式教學,，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中,，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移,。我們在 2003級進行了“創(chuàng)設數學情境與提出數學問題”教學實驗,，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式,，平時能主動思考，敢于提出自己關心的問題和想法,，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識,，增強了學習數學的興趣。

2,、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本 ?必修）數學第一冊（下）的第五章第九節(jié)的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一,，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用,，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具,，因此具有廣泛的應用價值,。本節(jié)課是“正弦定理,、余弦定理”教學的第二節(jié)課,，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”,。布魯納指出，學生不是被動的,、消極的知識的接受者，而是主動的,、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考,，參與知識獲得的過程。因此,，做好“余弦定理”的教學,，不僅能復習鞏固舊知識,，使學生掌握新的有用的知識,，體會聯系、發(fā)展等辯證觀點,，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題,、解決問題等研究性學習的能力,。

3、設計思路

建構主義強調,，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中,，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗,，小到身邊的衣食住行，大到宇宙,、星體的運行，從自然現象到社會生活,，他們幾乎都有一些自己的看法。而且,，有些問題即使他們還沒有接觸過,，沒有現成的經驗,，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗,，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋,。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測,，而是從他們的經驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設。所以,，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶,，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點,，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗,。

為此我們根據“情境--問題”教學模式,，沿著“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線,，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學,，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境--問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,，成為知識的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識,、發(fā)展能力、體驗數學的過程,。根據上述精神,，做出了如下設計：①創(chuàng)設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā),、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化,、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理,，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性,，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質,，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角,，求第三邊,。③為了解決提出的問題,，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊bc的垂線得到兩個直角三角形,，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式,，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時,，關鍵在于啟發(fā)、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點,；二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題,。

二、教學過程

1,、設置情境

自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構,。設計時需要計算油泵頂桿 bc的長度（如下圖）,，已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點b與車箱支點a之間的距離為1.95m,，ab與水平線之間的夾角為6°20′，ac的長為1.40m,，計算bc的長（保留三個有效數字）。

2,、提出問題

師：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數學問題,？（數學建模）

能,，在三角形 abc,，已知ab＝1.95m,ac＝1.40m，∠bac＝60°＋6°20′＝66°20′,，求bc的長。

師：能用正弦定理求解嗎,？為什么？

不能,。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角,；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊,。師：這個問題的實質是什么？

在三角形中,，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊,。（一般化）三角形 abc,，知ac＝b，bc＝a,，角c，求ab,。

3、解決問題

師：請同學們想一想,，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的,？ 先從特殊圖形入手,，尋求答案或發(fā)現解法,。（特殊化）可以先在直角三角形中試探一下,。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角c為直角）斜三角形abc中（如圖3），過a作bc邊上的高ad,，將斜三角形轉化為直角三角形。（聯想構造）師：垂足 d一定在邊bc上嗎,？

不一定，當角 c為鈍角時,，點d在bc的延長線上。（分類討論,，培養(yǎng)學生從不同的角度研究問題）

在銳角三角形 abc中，過a作ad垂直bc交bc于d,，在直角三角形adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsinc, cd＝accosc 即ad＝bsinc, cd＝bcosc 又 bd＝bc-cd,即bd＝a-bcosc

∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2

=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

在鈍角三角形 abc中,，不妨設角c為鈍角,，過a作ad垂直bc交bc的延長線于d,，在直角三角形 adb中，ab 2 ＝ad 2 ＋bd 2,，在直角三角形adc中，ad＝acsin（π-c）,cd＝accos（π-c）,，即ad＝bsinc, cd＝-bcos c，又bd＝bc＋cd,即bd＝a-bcosc

∴ c 2 =(bsinc)2 +(a-bcosc)2

=b 2 sin 2 c+a 2-2abcosc+b 2 cos 2 c =a 2 +b 2-2abcosc

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

同理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosa b 2 =a 2 +c 2-2accosb

師：大家回想一下,，在證明過程易出錯的地方是什么？

4,、反思應用

師：同學們通過自己的努力，發(fā)現并證明了余弦定理,。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關系，請大家考慮一下,，余弦定理能夠解決哪些問題,？

知三求一,，即已知三角形的兩邊和它們的夾角,，可求另一邊；已知三角形的三條邊,，求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,。

師：請同學們用余弦定理解決本節(jié)課開始時的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理,，得

bc 2 ＝ab 2 ＋ac

＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571

∴ bc≈1.89(m)

答：頂桿 bc約長1.89m。

師：大家回想一想,，三角形中有六個元素,，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素,，是否能求出另外的三個元素？

不能,，已知的三個元素中，至少要有一個邊,。

師：解三角形時,，何時用正弦定理,？何時用余弦定理？

已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊,，解三角形時，利用正弦定理,；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時,，利用余弦定理。鞏固練習：課本第 131頁練習1⑵,、2⑵、3⑵,、4⑵

三、教學反思

本課中,，教師立足于所創(chuàng)設的情境，通過學生自主探索,、合作交流,，親身經歷了提出問題,、解決問題、應用反思的過程,，學生成為余弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”,，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標,、能力目標,、情感目標均得到了較好的落實,，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

創(chuàng)設數學情境是“情境.問題.反思.應用”教學的基礎環(huán)節(jié),，教師必須對學生的身心特點,、知識水平,、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮,，對可用的情境進行比較,，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發(fā),，創(chuàng)設認知沖突型數學情境，是創(chuàng)設情境的常用方法之一,。“余弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發(fā)創(chuàng)設了教學中所使用的數學情境,。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應用舉例的例1,。實踐說明，這種將教材中的例題,、習題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設情境的一條有效途徑,。只要教師能對教材進行深入、細致,、全面的研究，便不難發(fā)現教材中有不少可用的素材,。

“情境.問題.反思.應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動,，以學生作為提出問題的主體,，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明,，學生能否提出數學問題,，不僅受其數學基礎,、生活經歷、學習方式等自身因素的影響,，還受其所處的環(huán)境,、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此,，教師不僅要注重創(chuàng)設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵,，而且還具有“問題”的誘導性,、啟發(fā)性和探索性）,，而且要真正轉變對學生提問的態(tài)度,，提高引導水平,，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題,，另一方面要妥善處理學生提出的問題,。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程,；關注學生數學學習的水平,，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態(tài)度,；關注是否給學生創(chuàng)設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把“質疑提問”,，培養(yǎng)學生的數學問題意識,，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

余弦定理實例篇四

余弦定理教材微觀分析

（一）教材地位和作用

余弦定理選自人教a版必修五第一章第一節(jié)“正弦定理與余弦定理”,，主要包括正弦定理與余弦定理兩個概念,。本節(jié)內容是第2課時,。教材知識結構主要研究余弦定理的推導及運用余弦定理解三角函數,，從數學學習角度看屬于命題課,。余弦定理的學習建立在正弦定理、向量運算和勾股定理的基礎上,，是勾股定理的推廣和正弦定理的補充,，將三角形的邊與角聯系起來,，實現邊角關系的互化,，是解三角形的一個重要方法,，為后面應用正、余弦定理測量距離,、解決有關三角形的計算問題、證明一些三角恒等式,，判斷三角形形狀打下了一定的基礎,。

教材編排從全等三角形的判定方法出發(fā)，引出出問題：“如何計算出三角形第三邊的長”,。讓學生通過已掌握的向量求模的方法化簡得到余弦定理。再將勾股定理與余弦公式進行比較,，得出判斷三角形形狀的方法。這樣安排一是符合學生的認知規(guī)律,，二是讓學生經歷了定理的產生與證明,，加深了對向量運算的理解。

（二）核心內容和思想

本節(jié)課的核心內容是：余弦定理內容及其證明,，余弦定理在解三角形中的應用。因為余弦定理是聯系一般三角形中的邊角關系的一個重要工具,。從思想方法看，本節(jié)課蘊含著數形結合,、類比思想、轉化思想,、方程思想，教會學生解決三角形問題的基本方法,。

（三）教學重點和難點

余弦定理揭示了三角形中邊和角的數量關系，是解三角形的一個重要工具,，為今后判斷三角形形狀,，證明與三角形有關的等式與不等式提供了重要依據，在幾何中有著廣泛應用,。所以，教學重點就是余弦定理的內容和在三角形邊角計算中的應用,。

教學難點是余弦定理的發(fā)現和公式的推導。余弦定理的證明需要運用到向量的數量積或解析幾何中的兩點間距離公式,，學生很難想到運用什么方法推出余弦定理。

（四）分析教學目標

知識與技能目標：能夠說出余弦定理,，能夠運用余弦定理解決實際問題。過程與方法目標：在經歷向量求模長的過程中探索余弦定理的內容,。在運用余弦定理解決三角形問題中，體會數形結合,、轉化的思想方法。通過余弦定理和勾股定理的比較,，體會類比的思想方法。

情感,、態(tài)度,、價值觀目標：在余弦定理的證明和應用過程中,，感受到數與形的辯證統一和數學的實用性。

（五）例題,、習題的作用和編寫意圖

例3是已知三角形兩邊及其夾角,，解三角形,，考察學生對正、余弦定理的綜合運用能力,。但在運用正弦定理時,，正弦值為正,，對應的角可能是銳角,，也可能是鈍角,，這就需要學生綜合三角形的邊和角的大小對應情況作出準確判斷,。例4是已知三角形三條邊,，解三角形,。例題采用的是余弦定理加三角形的內角和這兩個知識點。通過這兩道題讓學生思考運用正余弦公式求解三角形的利弊,，歸納出解三角形的問題分為幾類，分別應怎樣求解,。

余弦定理實例篇五

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一,、教材依據：人民教育出版社（a版）數學必修5第一章 第二節(jié)

二、設計思想：

1,、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內容的直接延拓,，是解三角形這一章知識的一個重要定理,，揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具,，余弦定理與平面幾何知識、向量,、三角形有著密切的聯系。因此,，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識,，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系,、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力,，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力,。

2,、學情分析：這節(jié)課是在學生已經學習了正弦定理及有關知識的基礎上,，轉入對余弦定理的學習,，此時學生已經熟悉了探索新知識的數學教學過程,，具備了一定的分析能力,。

3,、設計理念：由于余弦定理有較強的實踐性，所以在設計本節(jié)課時,，創(chuàng)設了一些數學情景,，讓學生從已有的幾何知識出發(fā),，自己去分析,、探索和證明,。激發(fā)學生濃厚的學習興趣,，提高學生的創(chuàng)新思維能力,。

4、教學指導思想：根據當前學生的學習實際和本節(jié)課的內容特點,，我采用的是“問題教學法”，精心設計教學內容,，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三,、教學目標：

1、知識與技能：

理解并掌握余弦定理的內容,，會用向量法證明余弦定理,，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實例，體會余弦定理的內容,，經歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發(fā)展用數學工具解答現實生活問題的能力,。

3．情感、態(tài)度與價值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念,，體會“數形結合”的思想。通過余弦定理的應用,，感受余弦定理在解決現實生活問題中的意義。

四,、教學重點：

通過對三角形邊角關系的探索，證明余弦定理及其推論,，并能應用它們解三角形及求解有關問題。

五,、教學難點：余弦定理的靈活應用

六,、教學流程：

(一)創(chuàng)設情境，課題導入：

1,、復習：已知a=300,c=450,b=16解三角形,。（可以讓學生板練）

2,、若將條件c=450改成c=8如何解三角形？

設計意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯系,，溝通新舊知識的聯系,，引導學生體會量化

師生活動：用數學符號來表達“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△abc，bc=a,ac=b,和角c,，求解c,b,a 引出課題：余弦定理

（二）設置問題，知識探究

1,、探究：我們可以先研究計算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關系式或計算公式呢,？ 設計意圖：期望能引導學生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

2,、①考慮用向量的數量積：如圖 a

c

??????設cb?a,ca?b,ab?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcoscb 即cab222?a?b?2abcosc,引導學生證明22222

?b?c?2bccosa?c?a?2cacosb2②還 引導學生運用此法來進行證明

3,、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學生自己總結，教師補充完整）

（三）典型例題剖析：

1,、例1：在△abc中，已知b=2cm,c=2cm,a=1200,解三角形,。

教師分析,、點撥并板書證明過程

總結：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形,，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角,。變式引申：在△abc中,，已知b=5,c=

53,a=300,解三角形。

2,、探究：余弦定理是關于三角形三邊和一個角的一個關系式,，把這個關系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設計意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數學式子作某種變形,，從而得到解決其他類型的數學問題，這是一種基本的研究問題的方法,。

師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關系式的應用,。因此應把重點引導到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題,。

引入余弦定理的推論：cosa=cosb=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosc=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊,，求三角。

（2）,、若a為直角，則cosa=0,，從而b2+c2=a2

若a為銳角，則 cosa>0, 從而b2+c2>a2

若a為鈍角,，則 cosa﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求a、b,、c例2:已知在?abc中,a?23,b?22,c?

先讓學生自己分析、思索,，老師進行引導,、啟發(fā)和補充,，最后師生一起求解,。

總結：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角,，再用三角形內角和定理求出第三角。（可以先讓學生歸納總結,，老師補充）變式引申：在△abc中,，a:b:c=2:讓學生板練，師生共同評判

3,、三角形形狀的判定：

例3：在△abc中，acosa=bcosb,試確定此三角形的形狀,。

（教師引導學生分析、思考,，運用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關系來判定,，在運算過程中，盡可能地把角的關系化為邊的關系,；二是利用角之間的關系來判定，將邊化成角,。

變式引申：在△abc中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sina=2sinbcosc,判斷△abc的形狀,。

讓學生板練，發(fā)現問題進行糾正,。

（四）課堂檢測反饋：

1,、已知在△abc中,，b=8,c=3,a=600,則a=()a 2 b 4 c 7 d 9

6:（3+1),求a、b,、c。,、在△abc中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△abc的最大角的度數為（）a 1200 b 900 c 600 d 1500

3,、在△abc中，a:b:c=1:

3:2,則a：b：c=（）

a 1：2：3 b 2：3：1 c 1：3：2 d 3：1：2

4,、在不等邊△abc中，a是最大的邊,，若a2

5,、在△abc中,，ab=5,，bc=6，ac=8,，則△abc的形狀是（）a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d非鈍角三角形

（五）課時小結：

（學生自己歸納、補充,，培養(yǎng)學生的口頭表達能力和歸納概括能力，教師總結）

運用多種方法推導出余弦定理,，并靈活運用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。

（六）課后作業(yè)：課本第10頁a組3（2）,、4（2）；b組第2題

（七）教學反思：

本堂課的設計,，立足于所創(chuàng)設的情境，注重提出問題,，引導學生自主探索、合作交流,，親身經歷了提出問題,、解決問題的過程，學生成為余弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”,，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂,，知識目標,、能力目標,、情感目標均得到了較好的落實,。