在日常的學(xué)習(xí),、工作、生活中,，肯定對(duì)各類范文都很熟悉吧,。寫范文的時(shí)候需要注意什么呢,？有哪些格式需要注意呢,？這里我整理了一些優(yōu)秀的范文,，希望對(duì)大家有所幫助,，下面我們就來了解一下吧。

導(dǎo)數(shù)證明不等式篇一

f(x)=x-ln(x+1)

f(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時(shí),，x>ln(x+1)

二,、導(dǎo)數(shù)是近些年來高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學(xué)的核心部分,。本文就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在一元不等式中的應(yīng)用,。

例1.已知x∈(0，),，求證:sinx

導(dǎo)數(shù)證明不等式篇二

用導(dǎo)數(shù)證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊,，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù)f(x).對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性,，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo),，f(x)=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^

2f(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此,，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定

求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù),，它在0點(diǎn)有最大值0,，知sinx

再證x-x3/6

對(duì)于函數(shù)x-x3/6-sinx

當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0

對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系,，令x=0時(shí),，x2/2+cosx-1值為0

再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x2/2-cosx-10

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù),，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x2>0,，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f(x)=1-2x

當(dāng)x∈時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時(shí),f(x)

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x2>0,。

i,、m、n為正整數(shù),，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對(duì)于m+1個(gè)數(shù),，其中m個(gè)(2+m),，1個(gè)1,它們的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此說明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的,。

方法二：導(dǎo)數(shù)方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導(dǎo)數(shù)

f(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f(x)的正負(fù)

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g(x)=-x/(1+x)^20

因此g(x)0,亦即f(x)

因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,。

令a*b*c=k的3次方

求證(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函數(shù)，f(x),，求導(dǎo),，可知其單調(diào)區(qū)間，然后求最大最小值即可,。

理論上所有題目都可以用導(dǎo)數(shù)做,，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

對(duì)a求導(dǎo),，f(a,b)a=0,，可得一個(gè)方程,，解出即得,。

導(dǎo)數(shù)證明不等式篇三

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx,。x?[0,+??,。考慮到f(0)=0,，要證不等式變?yōu)椋簒>0時(shí),，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù),。

證明：令：f(x)=x－lnx,，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo),。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時(shí),，f(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時(shí),，x>lnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立,，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)

函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零,，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)）,，并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,，證明要 證的不等式,。

例2：當(dāng)x??0,??時(shí)，證明不等式sinx?x成立,。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減,，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時(shí),，sinx?x成立。

點(diǎn)評(píng)：一般地,，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)f(x)?f(x)?g(x),，如果f(x)?0,，則f(x)在(a,b)上是減函數(shù),，同時(shí)若f(a)?0,由減函數(shù)的定義可知,，x?(a,b)時(shí)，有f(x)?0,即證明了f(x)?g(x),。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時(shí),，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g(x)?e?1.當(dāng)x?0時(shí),，g?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增,，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f(x)?0在?0,???恒成立,。?0,???上單調(diào)遞增,，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時(shí)，ex222.證明:當(dāng)x?1時(shí),有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立,。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因?yàn)?1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1,，??）因而在內(nèi)恒有f(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)??x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn),，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,，通過單調(diào)性證明不等式,。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡.如果對(duì)ln(1,這樣就能對(duì)它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x?x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?f?(x)??0,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?f(x)?f(0)?0 ?ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?x?0 ??1 ?g?(x)?0 １?xx2?x??ln(1?x)?x

2 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立,，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立,。因?yàn)閙

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m,。

評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題,，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了,，通過設(shè)函數(shù),，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題,。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式,，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí),，對(duì)培養(yǎng)分析問題,、解決問題的能力是有很大好處的,，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

導(dǎo)數(shù)證明不等式篇四

導(dǎo)數(shù)的定義：f(x)=lim δy/δx δx→0（下面就不再標(biāo)明δx→0了）用定義求導(dǎo)數(shù)公式（1）f(x)=x^n

證法一：（n為自然數(shù)）f(x)=lim [(x+δx)^n-x^n]/δx =lim(x+δx-x)[(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)]/δx =lim [(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

證法二：（n為任意實(shí)數(shù)）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx(lnf(x))=(nlnx) f(x)/f(x)=n/x f(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*x^n f(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f(x)=lim(sin(x+δx)-sinx)/δx=lim(sinxcosδx+cosxsinδx-sinx)/δx =lim(sinx+cosxsinδx-sinx)/δx=lim cosxsinδx/δx=cosx

（3）f(x)=cosx f(x)=lim(cos(x+δx)-cosx)/δx=lim(cosxcosδx-sinxsinδx-cosx)/δx =lim(cosx-sinxsinδx-cos)/δx=lim-sinxsinδx/δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f(x)=lim(a^(x+δx)-a^x)/δx=lim a^x*(a^δx-1)/δx（設(shè)a^δx-1=m,，則δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e,，原函數(shù)f(x)=e^x 則f(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f(x)=lim(loga^(x+δx)-loga^x)/δx

=lim loga^[(x+δx)/x]/δx=lim loga^(1+δx/x)/δx=lim ln(1+δx/x)/(lna*δx)=lim x*ln(1+δx/x)/(x*lna*δx)=lim(x/δx)*ln(1+δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+δx/x)^(x/δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函數(shù)f(x)=loge^x=lnx則f(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx f(x)=lim(tan(x+δx)-tanx)/δx=lim(sin(x+δx)/cos(x+δx)-sinx/cosx)/δx =lim(sin(x+δx)cosx-sinxcos(x+δx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim(sinxcosδxcosx+sinδxcosxcosx-sinxcosxcosδx+sinxsinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinδx/(δxcosxcos(x+δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f(x)=lim(cot(x+δx)-cotx)/δx=lim(cos(x+δx)/sin(x+δx)-cosx/sinx)/δx =lim(cos(x+δx)sinx-cosxsin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(cosxcosδxsinx-sinxsinxsinδx-cosxsinxcosδx-cosxsinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδx/(δxsinxsin(x+δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f(x)=lim(sec(x+δx)-secx)/δx=lim(1/cos(x+δx)-1/cosx)/δx =lim(cosx-cos(x+δx)/(δxcosxcosδx)=lim(cosx-cosxcosδx+sinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinxsinδx/(δxcosxcos(x+δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f(x)=lim(csc(x+δx)-cscx)/δx=lim(1/sin(x+δx)-1/sinx)/δx =lim(sinx-sin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(sinx-sinxcosδx-sinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδxcosx/(δxsinxsin(x+δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx(lnf(x))=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x)f(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h(x)=lim(f(x+δx)g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x)-g(x+δx))*f(x)]/δx =lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+δx)-f(x)*g(x+δx)]/δx =lim(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)/δx+(g(x+δx)-g(x))*f(x)/δx=f(x)g(x)+f(x)g(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h(x)=lim(f(x+δx)/g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim(f(x+δx)g(x)-f(x)g(x+δx))/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim(f(x+δx)-f(x))*g(x)/(δxg(x)g(x+δx))-(g(x+δx)-g(x))*f(x)/(δxg(x)g(x+δx))=f(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g(x)/(g(x)*g(x))=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h(x)=lim [f(g(x+δx))-f(g(x))]/δx =lim [f(g(x+δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/δx（另g(x)=u,，g(x+δx)-g(x)=δu）=lim(f(u+δu)-f(u))/δx=lim(f(u+δu)-f(u))*δu/(δx*δu)=lim f(u)*δu/δx=lim f(u)*(g(x+δx)-g(x))/δx=f(u)*g(x)=f(g(x))g(x)

總結(jié)

（x^n）=nx^(n-1)（sinx）=cosx（cosx）=-sinx（a^x）=a^xlna（e^x）=e^x（loga^x）=1/(xlna)（lnx）=1/x(tanx)=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)=tanx*secx(cscx)=-cotx*cscx(x^x)=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)/g(x)]=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]=f(g(x))g(x)

導(dǎo)數(shù)證明不等式篇五

題目：已知x＞1,，證明x＞ln（1+x）。

題型：

分值：

難度：

考點(diǎn)：

解題思路：令f(x)=x-ln(1+x)(x>1),，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)f(x)在1)=1-ln2>0,，從(1,+)上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f(x)>f（而證得不等式．

解析：解：設(shè)f(x)=x-ln(1+x)(x>1),，f￠(x)=1-1x,，=1+x1+x

又x>(x)>0，f(x)=x-ln(1+x)在(1,+)上單調(diào)遞增,，1,，f￠

f(x)>f(1)=1-ln2>0，即x-ln(1+x)>0,，x>ln(1+x).答案：略.點(diǎn)撥：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,，對(duì)數(shù)類型的函數(shù)的求導(dǎo)法則以及構(gòu)造函數(shù)法.本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)

證明題常用的一種方法.f(x)=x-ln(1+x)(x>1),，構(gòu)造函數(shù)法是