人的記憶力會(huì)隨著歲月的流逝而衰退,寫作可以彌補(bǔ)記憶的不足,,將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來,,也便于保存一份美好的回憶。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優(yōu)質(zhì)的范文嗎,?下面我給大家整理了一些優(yōu)秀范文,,希望能夠幫助到大家,我們一起來看一看吧,。
不等式證明典型例題篇一
2013年數(shù)學(xué)vip講義
【例1】 設(shè)a,,b∈r,求證:a2+b2≥ab+a+b-1,。
【例2】 已知0
【例3】 設(shè)a=a+d,,b=b+c,a,,b,,c,d∈r+,,ad=bc,,a=max{a,,b,c,,d},,試比較a與b的大小。
因a,、b的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單,,故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc,,借助于消元思想,,至少可以消去a,b,,c,,d中的一個(gè)字母,。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母,,因條件中已知a的不等關(guān)系:a>b,a>c,,a>d,,故保留a,消b,,c,,d中任一個(gè)均可。
由ad=bc得:d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1,。
bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaa-b=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a
【例4】 a,,b,c∈r,,求證:a4+b4+c4≥(a+b+c),。
不等號(hào)兩邊均是和的形式,利用一次基本不等式顯然不行,。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和,,根據(jù)不等號(hào)方向,應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加,。因不等式左邊只有三項(xiàng),,故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式,這就是“化奇為偶”的技巧,。
左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24
≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca
2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求,,此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小,處理的方法與剛才類似,。
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ab?1212
2013年數(shù)學(xué)vip講義
22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22
?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a
?1c?【例5】(1)a,,b,,c為正實(shí)數(shù),,求證:?(2)a,b,,c為正實(shí)數(shù),,求證:
a21bb2≥
c21ab?1bc?1ac,;
b?c?a?ca?b≥
a?b?c2。
(1)不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同,,處理方法也完全一樣,。
(2)同學(xué)們可試一試,再用剛才的方法處理該題是行不通的,。注意到從左向右,,分式變成了整式,可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母,,利用二元基本不等式后約去分母,,再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎,?
a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a
a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c
相加后發(fā)現(xiàn)不行,,a,b,,c的整式項(xiàng)全消去了,。為了達(dá)到目的,應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整,。
a2b?c?b?c4≥a,,b2a?c?a?c4≥b,c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可,。
【例6】 x,,y為正實(shí)數(shù),x+y=a,,求證:x+y≥
2a22,。
思路一;根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),,聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系,。∵ x?y22≤2x2?y22
2∴ x?y≥(x?y)2?a22
思路二:因所求不等式右邊為常數(shù),,故可從求函數(shù)最小值的角度去思考,。思路一所用的是基本不等式法,這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),再用單調(diào)性求解,。換元有下列三種途徑:
途徑1:用均值換元法消元: 令 x?2a2?m,,y?aa22?m
22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥
a22
途徑2:代入消元法: y=a-x,0
a2)2?a22≥
a22
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途徑3:三角換元法消元:
令 x=acos2θ,,y=asin2θ,θ∈(0,,]
2?2013年數(shù)學(xué)vip講義
則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]
=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122
12sin2θ)≥
a22
注:為了達(dá)到消元的目的,,途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù),也就是找到一個(gè)中間變量表示x,,y,。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法?!纠?】 已知a>b>0,,求證:(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。
12所證不等式的形式較復(fù)雜(如從次數(shù)看,,有二次,,一次,次等),,難以從某個(gè)角度著手,。故考慮用分析法證明,即執(zhí)果索因,,尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn),、變形,,實(shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。
a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2
a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0
b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2
∴ 不等式可化為:(a?4ab)2?1?(a?4bb)2
2??(a?b)?4a即要證?
2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?
?2b?a?b?在a>b>0條件下,,不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8,,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,,恒有f(a)
112.不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一,,采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn),,借助于函數(shù)思想,,可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值,看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較,。
?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤
2?82?a?82a842?2
令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+
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∵ 32?22013年數(shù)學(xué)vip講義
∴ g(b)>f(a)注:本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性,只不過中間量為常數(shù)而已,這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過,。由此也說明,,實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。
【例9】 已知a,,b,,c∈r,f(x)=ax2+bx+c,,當(dāng)|x|≤1時(shí),,有|f(x)|≤1,求證:
(1)|c|≤1,,|b|≤1,;
(2)當(dāng)|x|≤1時(shí),|ax+b|≤2,。
這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題,,除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外,還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式,,如|a|≥a,,|a|≥-a,||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,,|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|,。就本題來說,還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí),,|f(x)|≤1”的解題意識(shí),。
從特殊化的思想出發(fā)得到: 令 x=0,|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí),,|f(1)|≤1,;當(dāng)x=-1時(shí),|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式,,即把f(0),,f(1),f(-1)化作已知量,,去表示待求量,。∵ f(1)=a+b+c,,f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤
12(1?1)≤1 ∴ |b|?(2)思路一:利用函數(shù)思想,,借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。
當(dāng)a>0時(shí),,g(x)在[-1,,1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]
≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí),同理可證。
思路二:直接利用絕對(duì)值不等式
為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分配到a,,b,,可考慮a,b的符號(hào)進(jìn)行討論,。當(dāng)a>0時(shí)
|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論
① b≥0時(shí),,a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2; ② b<0時(shí),,a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2,。∴ |ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí),,同理可證,。
評(píng)注:本題證明過程中,還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向,,合理選擇不等式,,例如:既有|a-b|≥|a|-|b|,又有|a-b|≥|b|-|a|,,若不適當(dāng)選擇,,則不能滿足題目要求。
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1,、設(shè)a,b為正數(shù),,且a+b≤4,,則下列各式一定成立的是 a、c,、1a12?1b1a≤?141b b,、≤1 d、141a≤
?1a?1b≤
≤
1b≥1
2,、已知a,b,,c均大于1,,且logac·logbc=4,則下列各式中一定正確的是 a,、ac≥b b,、ab≥c c、bc≥a d,、ab≤c
5,、已知a,b,c>0,,且a+b>c,,設(shè)m=
a4?a?bb?cc4?c,n=,,則mn的大小關(guān)系是
a,、m>n b、m=n c,、m
6,、已知函數(shù)f(x)=-x-x3,x1,,x2,,x3∈r,且x1+x2>0,,x2+x3>0,,x3+x1>0,則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 a,、一定大于零 b,、一定小于零 c、一定等于零 d,、正負(fù)都有可能
7,、若a>0,b>0,,x?111(?)2ab1a?b1ab,,y?,z?,,則
a,、x≥y>z b、x≥z>y c,、y≥x>z d,、y>z≥x
8、設(shè)a,,b∈r,,下面的不等式成立的是 a、a+3ab>b b,、ab-a>b+ab c,、(二)填空題
9、設(shè)a>0,,b>0,,a≠b,,則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。
10,、若a,,b,c是不全相等的正數(shù),,則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc(用不等號(hào)填空),。
12、當(dāng)00且t≠1時(shí),,logat與log21t?1a2
2ab?a?1b?1 d,、a+b≥2(a-b-1)
22的大小關(guān)系是__________。
n13,、若a,,b,c為rt△abc的三邊,,其中c為斜邊,,則an+bn與c(其中n∈n,n>2)的大小關(guān)系是________________,。
(三)解答題
14,、已知a>0,b>0,,a≠b,,求證:a?
15、已知a,,b,,c是三角形三邊的長(zhǎng),求 證:1?
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ab?c?ba?c?ca?b?2,。
b?ab?ba,。金牌師資,笑傲高考
16,、已知a≥0,,b≥0,求證:
18,、若a,,b,c為正數(shù),,求證:
19、設(shè)a>0,,b>0,,且a+b=1,,求證:(a?
20、已知a+b+c>0,,ab+bc+ca>0,,abc>0,求證:a,,b,,c全為正數(shù)。
1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學(xué)vip講義
12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba,。
≤
?b383?c38,。
abc≥。
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不等式證明典型例題篇二不等式證明練習(xí)題
(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展開,,得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式,,得
>=19>=18用柯西不等式:(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
樓上的,用基本不等式要考慮等號(hào)什么時(shí)候成立,,而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設(shè)ab=x,bc=y,ca=z
則原不等式等價(jià)于:
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有絕對(duì)值的不等式練習(xí),。1.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是:x7x+7,-1-7x-7,x>-2,因此有:-20的解,,∵a<0,,不等式變形為x2+x-<0,它與不等式x2+x+<0比較系數(shù)得:a=-4,b=-9.函數(shù)y=arcsinx的定義域是,,值域是,,函數(shù)y=arccosx的定義域是,值域是,,函數(shù)y=arctgx的定義域是r,,值域是.,函數(shù)y=arcctgx的定義域是r,,值域是(0,π).直接求函數(shù)的值域困難時(shí),,可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,來確定函數(shù)的值域,。函數(shù)公式模型,。一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù),其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展開,得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式,,得
>=19>=18用柯西不等式:(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
樓上的,,用基本不等式要考慮等號(hào)什么時(shí)候成立,而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設(shè)ab=x,bc=y,ca=z
則原不等式等價(jià)于:
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有絕對(duì)值的不等式練習(xí),。1.關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是:x7x+7,-1-7x-7,x>-2,,因此有:-20的解,,∵a<0,不等式變形為x2+x-<0,,它與不等式x2+x+<0比較系數(shù)得:a=-4,b=-9.函數(shù)y=arcsinx的定義域是,,值域是,函數(shù)y=arccosx的定義域是,,值域是,,函數(shù)y=arctgx的定義域是r,值域是.,,函數(shù)y=arcctgx的定義域是r,,值域是(0,π).直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,,來確定函數(shù)的值域,。函數(shù)公式模型。一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù),,其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
不等式證明典型例題篇三11n??恒成立,,則n的最大值是()a?bb?ca?c
a.2b.3c.4d.6 1.設(shè)a?b?c,n?n,,且
x2?2x?22. 若x?(??,1),則函數(shù)y?有()2x?
2a.最小值1b.最大值1c.最大值?1d.最小值?
13.設(shè)p?
q?
r?p,q,r的大小順序是()
a.p?q?rb.p?r?qc.q?p?rd.q?r?p
4.設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a,b滿足a?b?a?b,,則a?b的取值范圍是()
a.(1,??)b.(1,)c.[1,]d.(0,1)
?5.設(shè)a,b,c?r,,且a?b?c?1,若m?(?1)(?1)(?1),,則必有()332243431
a1b1c
a.0?m?11b.?m?1c.1?m?8d.m?8 88
6.若a,b?
r?,,且a?b,m?
n?m與n的大小關(guān)系是a.m?nb.m?nc.m?nd.m?n
1.若logxy??2,則x?y的最小值是()
33223a.b.c.22
3?2.a(chǎn),b,c?r,,設(shè)s?3d.232 abcd???,,a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b
則下列判斷中正確的是()
a.0?s?1b.1?s?2c.2?s?3d.3?s?
43.若x?1,則函數(shù)y?x?116x?的最小值為()xx2?1
a.16b.8c.4d.非上述情況
4.設(shè)b?a?0,,且p?a?b,,m? n?,r?q?112?ab2
則它們的大小關(guān)系是()
a.p?q?m?n?rb.q?p?m?n?r
c.p?m?n?q?rd.p?q?m?r?n
二,、填空題
1.函數(shù)y?3x(x?0)的值域是.2x?x?
12.若a,b,c?r?,,且a?b?c?1,則a??的最大值是
3.已知?1?a,b,c?1,,比較ab?bc?ca與?1的大小關(guān)系為4.若a?
0,,則a?1a5.若x,y,z是正數(shù),且滿足xyz(x?y?z)?1,,則(x?y)(y?z)的最小值為______,。
1.設(shè)x?0,,則函數(shù)y?3?3x?1的最大值是__________。x
2.比較大?。簂og34______log67
3.若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x?2y?3z?a(a為常數(shù)),則x2?y2?z2的最小值為
4.若a,b,c,d是正數(shù),,且滿足a?b?c?d?4,,用m表示
a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者,則m的最小值為__________,。
5.若x?1,y?1,z?1,xyz?10,,且xlgx?ylgy?zlgz?10,則x?y?z?_____,。
1.若a?b?0,,則a?1的最小值是_____________。b(a?b)
abb?ma?n, , , 按由小到大的順序排列為baa?mb?n2.若a?b?0,m?0,n?0,,則
223.已知x,y?0,,且x?y?1,則x?y的最大值等于_____________,。
1111??????,,則a與1的大小關(guān)系是_____________。210210?1210?2211?1
125.函數(shù)f(x)?3x?2(x?0)的最小值為_____________,。x4.設(shè)a?
三,、解答題
1.已知a?b?c?1,求證:a?b?c?
2221 3
.解不等式x?7?3x?4??0
3.求證:a?b?ab?a?b?1
.證明:1)?1
1.如果關(guān)于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集,,求參數(shù)a的取值范圍,。
22?...??a?b?c2
?3
3.當(dāng)n?3,n?n時(shí),求證:2n?2(n?1)
4.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a?b?c,,且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1,,求證:1?a?b?
1. 設(shè)a,b,c?r?,且a?b?c,,求證:a?b?c
2.已知a?b?c?d,,求證:
?3.已知a,b,c?r,比較a?b?c與ab?bc?ca的大小,。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d
.求函數(shù)y?
5.已知x,y,z?r,,且x?y?z?8,x?y?z?24
求證:
222444?x?3,?y?3,?z?3 333
不等式證明典型例題篇四
不等式證明
1.比較法:
比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,,它可分為作差法,、作商法
(1)作差比較:
①理論依據(jù)a-b>0
a>b;a-b=0
a=b;a-b<0
a
⑴作差:對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式)作差。
⑵變形:對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)(或式)的完全平方和,。⑶判斷差的符號(hào):結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào),。
注意:若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難,,可以通過它們的平方差來比較大小。(2)作商法:①要證a>b(b>0),只要證
;要證a
0),,只要證
②證明步驟:作商→變形→判斷與1的關(guān)系 常用變形方法:一是配方法,,二是分解因式2.綜合法:所謂綜合法,就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,,可簡(jiǎn)稱為由因?qū)Ч?。常見的基本不等式?|a|≥0, a2?b2?2ab,a?b?ab 2,,a?b?a?b?a?b 分析法:從求證的不等式出發(fā),,逐步尋求使不等式成立的充分條件,直至所需條件被確認(rèn)成立,,就斷定求證的不等式成立,,這種證明方法叫分析法,分析法的思想是“執(zhí)果索因”:即從求證的不等式出發(fā),,探求使結(jié)論成立的充分條件,,直至已成立的不等式。
基本步驟:要證??只需證??,,只需證?? 4 分析綜合法
單純地應(yīng)用分析法證題并不多見,,常常是在分析的過程中,又綜合條件,、定理,、常識(shí)等因素進(jìn)行探索,把分析與綜合結(jié)合起來,,形成分析綜合法,。反證法:先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,,如要證明不等式m
n,,由題設(shè)及其他性質(zhì),推出矛盾,,從而否定假設(shè),,肯定m
具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。常用的技巧有:舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng),;在和或積中換大(或換?。┠承╉?xiàng);擴(kuò)大(或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?,放縮時(shí)要注意不等號(hào)的一致性。放縮法的方法有:
⑴添加或舍去一些項(xiàng),如:a2?1?a,;n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大(或縮?。抢没静坏仁剑纾簂g3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結(jié)論: n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2ⅰ,、k?1?k?1k?1?k?12k,;
ⅱ、1111,; ???k2k(k?1)k?1k1111(程度大)???2k(k?1)kk?1kⅲ,、12?k11111??(?);(程度?。?k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法:換元的目的就是減少不等式中變量,以使問題化難為易,,化繁為簡(jiǎn),,常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如: 已知x2?y2?a2,,可設(shè)x?acos?,y?asin?,; 已知x2?y2?1,可設(shè)
x?rcos?,y?rsin?(0?r?1),;
x2y2已知2?2?1,,可設(shè)x?acos?,y?bsin?;
abx2y2已知2?2?1,,可設(shè)x?asec?,y?btan?,;
ab8、判別式法:判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程,,一元二次不等式,,二次函數(shù)的根、解集,、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式,,從而推出欲證的不等式的方法。
9,、其它方法 最值法:恒成立
恒成立
構(gòu)造法:通過構(gòu)造函數(shù),、方程、數(shù)列,、向量或不等式來證明不等式,;
不等式證明典型例題篇五§14不等式的證明
不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位,由于其證明的困難性和方法的多樣性,,而成為競(jìng)賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸,,而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì),不等式的性分類羅列如下: 不等式的性質(zhì):a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義,也是比較法的依據(jù).對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì):
(1)a?b?b?a(對(duì)稱性)
(2)a?b?a?c?b?c(加法保序性)
(3)a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.(4)a?b?0?an?bn,na?nb(n?n*).對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).(1)a?b,b?c?a?c(傳遞性).這是放縮法的依據(jù).(2)a?b,c?d?a?c?b?d.(3)a?b,c?d?a?c?b?d.(4)a?b?0,d?c?0,?含絕對(duì)值不等式的性質(zhì):
(1)|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.(2)|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.(3)||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(三角不等式).(4)|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad? 證明不等式的常用方法有:比較法,、放縮法,、變量代換法、反證法,、數(shù)學(xué)歸納法,、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中,??伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法,;后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略,分析問題時(shí),,我們往往用分析法,,而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法,這兩者并非證明不等式的特有方法,,只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外,,具體地證明一個(gè)不等式時(shí),可能交替使用多種方法.例題講解 1.a(chǎn),b,c?0,求證:ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32.a(chǎn),b,c?0,,求證:abc?(abc)
abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3.:a,b,c?r,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?
4.設(shè)a1,a2,?,an?n*,,且各不相同,求證:1?????
12131aa3an?a1?2????..n2232n25.利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446.已知a?b?1,a,b?0,求證:a?b?1.8
7.利用排序不等式證明gn?an
8.證明:對(duì)于任意正整數(shù)r,,有(1?
1n1n?1)?(1?).nn?11119.n為正整數(shù),,證明:n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n
1n? 課后練習(xí)
1.選擇題
(1)方程x-y=105的正整數(shù)解有().(a)一組(b)二組
(c)三組
(d)四組
(2)在0,1,2,?,50這51個(gè)整數(shù)中,,能同時(shí)被2,,3,4整除的有().(a)3個(gè)(b)4個(gè)
(c)5個(gè)
(d)6個(gè) 2.填空題
(1)的個(gè)位數(shù)分別為_________及_________.4
5422(2)滿足不________.等式10?a?10的整數(shù)a的個(gè)數(shù)是x×10+1,,則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數(shù)解x和y_________.3.求三個(gè)正整數(shù)x,、y、z滿足
23.4.在數(shù)列4,,8,,17,77,,97,,106,125,,238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù),,而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組?
5.求的整數(shù)解.6.求證可被37整除.7.求滿足條件的整數(shù)x,,y的所有可能的值.8.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米,、m厘米,,斜邊長(zhǎng)為n厘米,且l,,m,,n均為正整數(shù),l為質(zhì)數(shù).證明:2(l+m+n)是完全平方數(shù).9.如果p,、q,、、都是整數(shù),,并且p>1,,q>1,試求p+q的值.課后練習(xí)答案
1.d.c.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設(shè)x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5.分析:左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行,,考察到不等式的對(duì)稱性,,可用輪換的方法...
略解:a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca;三式相加再除以2即得證.評(píng)述:(1)利用基本不等式時(shí),,除了本題的輪換外,,一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn,,可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時(shí),可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?(2)基本不等式有各種變式
如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,,系數(shù)和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333
3222
2≡8(mod37).2222
27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|n.22
3+7777
3333
≡(8+7)(mod37),而
237.簡(jiǎn)解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5),、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(n-m).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數(shù).222
229.易知p≠q,不妨設(shè)p>q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m>n由此可得不定方程
例題答案:
1.證明:?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc
?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)
?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2
?0
?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c
評(píng)述:(1)本題所證不等式為對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母,,不等式不變),,在因式分解或配方時(shí),往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時(shí),,可將a2?b2
1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],,亦可利用a2?b2?2ab,2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca,,3式相加證明.(2)本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析:顯然不等式兩邊為正,,且是指數(shù)式,故嘗試用商較法.不等式關(guān)于a,b,c對(duì)稱,,不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?r?,,且
ab,,c(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3
a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評(píng)述:(1)證明對(duì)稱不等式時(shí),,不妨假定n個(gè)字母的大小順序,,可方便解題.(2)本題可作如下推廣:若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.(3)本題還可用其他方法得證。因aabb?abba,,同理bbcc?bccb,ccaa?caac,,另aabbcc?aabbcc,4式相乘即得證.(4)設(shè)a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價(jià)于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實(shí)上,一般地有排序不等式(排序原理): 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn,,則a1b1?a2b2???anbn(順序和)
?a1bj1?a2bj2???anbjn(亂序和)?a1bn?a1bn?1???anb1(逆序和)
其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時(shí)等號(hào)成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛(其證明略),,它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?r?時(shí),a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c
a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析:中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和,將它們拆開,,再用排序不等式證明.111111??,,則a2??b2??c2?(亂序和)cbacab111111?a2??b2??c2?(逆序和),同理a2??b2??c2?(亂序和)abccab111?a2??b2??c2?(逆序和)兩式相加再除以2,,即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)abc111333??組a?b?c及,,
222不妨設(shè)a?b?c,則a?b?c,4.分析:不等式右邊各項(xiàng)
ai1?a?;可理解為兩數(shù)之積,,嘗試用排序不等式.i22ii設(shè)b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列,,滿足b1?b2???bn,又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù),,?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2,,原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評(píng)述:排序不等式應(yīng)用廣泛,例如可證我們熟悉的基本不等式,,a2?b2?a?b?b?a,,a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析:左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行,考察到不等式的對(duì)稱性,,可用輪換的方..法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca,;三式相加再除以2即得證.評(píng)述:(1)利用基本不等式時(shí),除了本題的輪換外,,一般還須掌握添項(xiàng),、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn,可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時(shí),,可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?(2)基本不等式有各種變式
如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,,系數(shù)和為1.6.思路分析:不等式左邊是a、b的4次式,,右邊為常數(shù)式呢.44要證a?b?1,,如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評(píng)述:(1)本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證:x1 ?x211133求證:x1x2?x2x3 ?x3?.右側(cè)的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0,,3332+x3x1?0,,此處可以把0理解為(x1?x2?x3),當(dāng)然本題另有簡(jiǎn)使證法.38(2)基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.(一般地,,對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,?an)
調(diào)和平均hn?n111????a1a2an 幾何平均gn?na1?a2?an 算術(shù)平均an?a1?a2???an
n22a12?a2???an平方平均qn?
2這四個(gè)平均值有以下關(guān)系:hn?gn?an?qn,,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1,故可取x1,x2,?xn?0,,使得 gnb1?
xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有: x2x3xnx1b1?b2???bn
=xx1x2????n(亂序和)x2x3x1111?x2????xn?(逆序和)x1x2xn ?x1?
=n,,?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?n111,,?,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得,gn?an.a1a2an 評(píng)述:對(duì)8.分析:原不等式等價(jià)于n?1(1?)?1?平均,,而右邊為其算術(shù)平均.n?11nn1,,故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個(gè)n?1 評(píng)述:(1)利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化,使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1(2)本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證,,但較繁.9.證明:先證左邊不等式
111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?
n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)
nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n
n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?(*)式成立,,故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式
?1111??????n?(n?1)?nn?1
23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n
(**)? n?1?nn?1
(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右邊不等號(hào)成立.