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高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇一

1．知識(shí)與技能

（1）理解等差數(shù)列的定義,，會(huì)應(yīng)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（2）賬務(wù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)過程：

（3）會(huì)應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單問題。

2.過程與方法

在定義的理解和通項(xiàng)公式的推導(dǎo),、應(yīng)用過程中,，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析,、歸納能力和嚴(yán)密的邏輯思維的能力,，體驗(yàn)從特殊到一般,，一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力,，滲透函數(shù)與方程的思想,。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過教師指導(dǎo)下學(xué)生的自主學(xué)習(xí),、相互交流和探索活動(dòng),，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神,，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,，讓學(xué)生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中,，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察,、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好習(xí)慣,。

【】

①等差數(shù)列的概念,；

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【】

①理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義；

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程．

【】

我所教學(xué)的學(xué)生是我校高一（7）班的學(xué)生（平行班學(xué)生）,，經(jīng)過一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段,，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力,，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃,，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā),，注重引導(dǎo)、啟發(fā),、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn),，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展．

【】

1．教法

①啟發(fā)引導(dǎo)法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn),，突破難點(diǎn),；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性,。

②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流,，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題,，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,。

③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn),，突破難點(diǎn),。

2．學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從三個(gè)現(xiàn)實(shí)問題（數(shù)數(shù)問題,、水庫水位問題、儲(chǔ)蓄問題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念,；接著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn),，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法,。

1．從0開始,，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么,？

2．水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境,，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個(gè)水庫的水位為18m,，自然放水每天水位降低2．5m,，最低降至5m．那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天,，水庫每天的水位（單位：m）組成一個(gè)什么數(shù)列,？

3．我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計(jì)算下一期的利息．按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）,?；钇诖嫒?0 000元錢，年利率是0．72%,，那么按照單利,，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成一個(gè)什么數(shù)列？

教師：以上三個(gè)問題中的數(shù)蘊(yùn)涵著三列數(shù)．

學(xué)生：

1：0,，5,，10，15,，20,，25，…．

2：18,，15．5,，13，10．5,，8,，5．5．

3:10072，10144,，10216,，10288，10360.

（設(shè)置意圖：從實(shí)例引入,，實(shí)質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實(shí)背景,，目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型,。通過分析，由特殊到一般,，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究知識(shí)的自主性,，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。

①0,，5,，10，15,，20,，25，…．

②18,，15．5,，13，10．5,，8,，5．5．

③10072，10144,，10216,，10288，10360.

思考1上述數(shù)列有什么共同特點(diǎn),？

思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點(diǎn),，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎？

思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語言嗎,？

教師：引導(dǎo)學(xué)生思考這三列數(shù)具有的共同特征,，然后讓學(xué)生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念,。

學(xué)生：分組討論,，可能會(huì)有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定,。

教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義,；另外，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)符號(hào)角度理解等差數(shù)列的定義,。

（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)一定數(shù)量感性材料的觀察,、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性,；使學(xué)生體會(huì)到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點(diǎn),；一開始抓住：“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差為同一常數(shù)”,，落實(shí)對(duì)等差數(shù)列概念的準(zhǔn)確表達(dá),。）

1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是,，指出公差d,。

(1)1，1,，1,，1，1;

(2)1,，0,，1，0,，1;

(3)2,，1，0,，-1,，-2;

(4)4,，7,，10，13,，16.

教師出示題目,，學(xué)生思考回答．教師訂正并強(qiáng)調(diào)求公差應(yīng)注意的問題。

注意：公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差,，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒,，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù),，也可以為0 ,。

（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用）。

2思考4:設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎,？為什么？

（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化等差數(shù)列的證明定義法）

1.已知等差數(shù)列：8,，5,，2，…,，求第200項(xiàng),？

2.已知一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是d，如何求出它的任意項(xiàng)an呢,？

教師出示問題,，放手讓學(xué)生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示,。根據(jù)學(xué)生在課堂上的具體情況進(jìn)行具體評(píng)價(jià),、引導(dǎo)，總結(jié)推導(dǎo)方法,，體會(huì)歸納思想以及累加求通項(xiàng)的方法,；讓學(xué)生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察,、歸納,、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力,。學(xué)生在分組合作探究過程中,，可能會(huì)找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評(píng),，并及時(shí)肯定,、贊揚(yáng)學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì),，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí),。鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力）

1判斷100是不是等差數(shù)列2,， 9,，16，…的項(xiàng),？如果是,，是第幾項(xiàng)？

2在等差數(shù)列{an}中,，已知a5=10,，a12=31，求a1,，d和an,。

3求等差數(shù)列 3，7,，11,，…的第4項(xiàng)和第10項(xiàng)

教師：給出問題，讓學(xué)生自己操練,，教師巡視學(xué)生答題情況,。

學(xué)生：教師叫學(xué)生代表總結(jié)此類題型的解題思路,，教師補(bǔ)充：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差就可以求出其通項(xiàng)公式

（設(shè)計(jì)意圖：主要是熟悉公式，使學(xué)生從中體會(huì)公式與方程之間的聯(lián)系,。初步認(rèn)識(shí)“基本量法”求解等差數(shù)列問題,。）

教材13頁練習(xí)1

1.一個(gè)定義：

等差數(shù)列的定義及定義表達(dá)式

2.一個(gè)公式：

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

3.二個(gè)應(yīng)用：

定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用

教師：讓學(xué)生思考整理，找?guī)讉€(gè)代表發(fā)言,，最后教師給出補(bǔ)充

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個(gè)方面,，溝通它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生能在新的高度上去重新認(rèn)識(shí)和掌握基本概念,，并靈活運(yùn)用基本概念,。）

本設(shè)計(jì)從生活中的數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣,。在探索的過程中，學(xué)生通過分析,、觀察,，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項(xiàng)公式,，強(qiáng)化了由具體到抽象,，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,。本節(jié)課教學(xué)采用啟發(fā)方法,，以教師提出問題、學(xué)生探討解決問題為途徑,，以相互補(bǔ)充展開教學(xué),，總結(jié)科學(xué)合理的知識(shí)體系，形成師生之間的良性互動(dòng),，提高課堂教學(xué)效率。

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇二

1.了解公差的概念,，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件,，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;

2.正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng),、公差,、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng),。

1.通過對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生：的觀察力及歸納推理能力,；

2.通過等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生：思維的深刻性和靈活性.

通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生：的觀察,、分析資料的能力,，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí)。

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師：上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法,、通項(xiàng)公式,、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本p41頁的4個(gè)例子)

(1)0,，5,，10，15,，20,，25，…;

(2)48,，53,，58，63,，…;

(3)18,，15.5，13,，10.5,，8，5.5…;

(4)10 072,，10 144,，10 216，10 288,，10 366,，….

請(qǐng)你們來寫出上述四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).

生：第一個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為30，第二個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78,，第三個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為3,，第四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為10 510。

師：我來問一下,，你依據(jù)什么寫出了這四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)呢?以第二個(gè)數(shù)列為例來說一說,。

生：這是由第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5，依據(jù)這個(gè)規(guī)律性我得到了這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78,。

師：說得很有道理!我再請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下,，看看以上四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？我說的是共同特征,。

生：1每相鄰兩項(xiàng)的差相等,，都等于同一個(gè)常數(shù)。

師：作差是否有順序,，誰與誰相減,？

生：1作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng),，不能顛倒。

師：以上四個(gè)數(shù)列的共同特征：從第二項(xiàng)起,，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等差),；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個(gè)名字叫——等差數(shù)列.

這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

等差數(shù)列的定義：一般地,，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).

（1）公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得,，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；

（2）對(duì)于數(shù)列{an},，若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母),，n≥2，n∈n*,，則此數(shù)列是等差數(shù)列,，d叫做公差.

師：定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生：在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字,，是能否正確地,、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師：應(yīng)該教會(huì)學(xué)生：如何深入理解一個(gè)概念,，以培養(yǎng)學(xué)生：分析問題,、認(rèn)識(shí)問題的能力)

生：從“第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”.

師：：很好！

師：請(qǐng)同學(xué)們思考：數(shù)列(1),、(2),、(3)、(4)的通項(xiàng)公式存在嗎,？如果存在,，分別是什么？

生：數(shù)列(1)通項(xiàng)公式為5n-5,，數(shù)列(2)通項(xiàng)公式為5n+43,，數(shù)列(3)通項(xiàng)公式為2.5n-15.5，….

師：好,，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識(shí)求出了這幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)質(zhì)上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn),，無論是在求解方法上,，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考.

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得到的,，若一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,，公差是d,，則據(jù)其定義可得什么?

生：a2-a1=d,即a2=a1+d.

師：對(duì)，繼續(xù)說下去!

生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

……

師：好,！規(guī)律性的東西讓你找出來了,，你能由此歸納出等差數(shù)列的.通項(xiàng)公式嗎?

生：由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d.

師：很好!這樣說來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列,，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d,，便可求得其通項(xiàng)an了.需要說明的是：此公式只是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，你能證明它嗎?

生：前面已學(xué)過一種方法叫迭加法,，我認(rèn)為可以用.證明過程是這樣的：

因?yàn)閍2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.

師：太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個(gè)通項(xiàng)公式了.

由上述關(guān)系還可得：am=a1+(m-1)d,

即a1=am-(m-1)d.

則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項(xiàng)公式)

由此我們還可以得到.

【例1】（1）求等差數(shù)列8,，5，2,…的第20項(xiàng);

（2）-401是不是等差數(shù)列-5,，-9,，-13…的項(xiàng)？如果是,，是第幾項(xiàng),？

師：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎?

生：1這題太簡(jiǎn)單了!首項(xiàng)和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

師：好!下面我們來看看第（2）小題怎么做.

生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1).

由題意可知,，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100,，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).

師：剛才兩個(gè)同學(xué)將問題解決得很好,，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實(shí)質(zhì)上通項(xiàng)公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨(dú)立的量有三個(gè)).

說明:(1)強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列｛an｝的項(xiàng)數(shù)n已知時(shí),，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字,；(2)實(shí)際上是求一個(gè)方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生：以前見得較少，可向?qū)W生：著重點(diǎn)出本問題的實(shí)質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項(xiàng),，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an,，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立.

【例2】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q,，其中p,、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列,？若是,，首項(xiàng)與公差分別是什么？

例題分析：

師：由等差數(shù)列的定義,，要判定{an}是不是等差數(shù)列,，只要根據(jù)什么?

生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).

師：說得對(duì)，請(qǐng)你來求解.

生：當(dāng)n≥2時(shí),，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),

所以我們說{an}是等差數(shù)列,，首項(xiàng)a1=p+q,，公差為p.

師：這里要重點(diǎn)說明的是：

(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列,，即為常數(shù)列q,，q，q,，….

(2)若p≠0,，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看,，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n,，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p,，直線在y軸上的截距為q.

(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p,、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式.課堂練習(xí)

(1)求等差數(shù)列3,，7,，11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).

分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差,，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式,，從而求出所┣笙.

解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)×4,，即an=4n-1(n≥1,，n∈n*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.

評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.

(2)求等差數(shù)列10,，8,，6，…的第20項(xiàng).

解：根據(jù)題意可知a1=10,，d=8-10=-2.

所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10+(n-1)×(-2),，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.

評(píng)述：要求學(xué)生：注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

(3)100是不是等差數(shù)列2,，9,，16，…的項(xiàng),？如果是,，是第幾項(xiàng)？如果不是,，請(qǐng)說明理由.

分析：要想判斷一個(gè)數(shù)是否為某一個(gè)數(shù)列的其中一項(xiàng),，其關(guān)鍵是要看是否存在一個(gè)正整數(shù)n值，使得an等于這個(gè)數(shù).

解：根據(jù)題意可得a1=2,，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.

令7n-5=100,，解得n=15.所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).

(4)-20是不是等差數(shù)列0，,，-7,，…的項(xiàng)？如果是,，是第幾項(xiàng),？如果不是，請(qǐng)說明理由.

解：由題意可知a1=0,，,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

令,，解得.因?yàn)闆]有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

師：（1）本節(jié)課你們學(xué)了什么,？（2）要注意什么,？（3）在生：活中能否運(yùn)用？(讓學(xué)生：反思,、歸納,、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學(xué)生：的概括能力、表達(dá)能力)

生：通過本課時(shí)的學(xué)習(xí),，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d(n≥1).

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇三

a．理解并掌握等差數(shù)列的概念,；了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想；

b．培養(yǎng)學(xué)生觀察,、分析,、歸納、推理的能力,；在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下,，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí),、方法遷移能力,；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,。

c 通過對(duì)等差數(shù)列的研究,，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神,；養(yǎng)成細(xì)心觀察,、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣,。

①等差數(shù)列的概念,。

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,。

采用啟發(fā)式,、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法,，通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),，以獨(dú)立思考和相互交流的形式,，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題,。

本節(jié)課的教學(xué)過程由（一）復(fù)習(xí)引入（二）新課探究（三）應(yīng)用例解（四）反饋練習(xí)（五）歸納小結(jié)（六）布置作業(yè),，六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

1.全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中成年女鞋的各種尺碼（表示鞋底長(zhǎng),，單位是c）分別是

21,，22，23,，24,，25，

2.某劇場(chǎng)前10排的座位數(shù)分別是：

38,，40,，42，44,，46,，48，50,，52,，54，56,。

3．某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：）是：

7500,，8000，8500,，9000,，9500，10000,，10500,。

從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),。

1,、給出等差數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,，通常用字母d來表示,。強(qiáng)調(diào)：

① “從第二項(xiàng)起”滿足條件；

②公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得；

③公差可以是正數(shù),、負(fù)數(shù),，也可以是0。

2,、推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是 ,公差是d, 則據(jù)其定義可得：

- =d 即： = +d

– =d 即： = +d = +2d

– =d 即： = +d = +3d

= +(n-1)d

這種求通項(xiàng)公式的辦法叫不完全歸納法,，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項(xiàng)公式的辦法------迭加法：

– =d

– =d

– =d

– =d

將這（n-1）個(gè)等式左右兩邊分別相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d

當(dāng)n=1時(shí)，上面等式兩邊均為 ,，即等式也是成立的,，這表明當(dāng)n∈ 時(shí)上面公式都成立，因此它就是等差數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式,。

接著舉例說明：若一個(gè)等差數(shù)列｛ ｝的首項(xiàng)是１,，公差是２，得出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是： =1+(n-1)×2 ,， 即 =2n-1 以此來鞏固等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用

這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí),，增強(qiáng)對(duì)通項(xiàng)公式含義的理解以及對(duì)通項(xiàng)公式的運(yùn)用，提高解決實(shí)際問題的能力,。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的 ,、d、n,、 這4個(gè)量之間的關(guān)系,。當(dāng)其中的部分量已知時(shí)，可根據(jù)該公式求出另一部分量,。

例1 （1）求等差數(shù)列8,，5，2,，…的第20項(xiàng),；

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9,，-13,，…的項(xiàng)？如果是,，是第幾項(xiàng),？

第二問實(shí)際上是求正整數(shù)解的問題，而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

例2 在等差數(shù)列｛an｝中,，已知 =10,， =31，求首項(xiàng) 與公差d。

在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對(duì)通項(xiàng)公式的鞏固

例3 梯子的最高一級(jí)寬33c,，最低一級(jí)寬110c,，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列,。計(jì)算中間各級(jí)的寬度,。

1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題（要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成）,。目的：使學(xué)生熟悉通項(xiàng)公式,，對(duì)學(xué)生進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。

2,、若數(shù)列{ } 是等差數(shù)列,若 = ,，（為常數(shù)）試證明：數(shù)列{ }是等差數(shù)列

此題是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)列問題提高訓(xùn)練，學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時(shí)強(qiáng)化了等差數(shù)列的概念,。

1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式．

強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字：從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 = +(n-1) d會(huì)知三求一

必做題：課本p114 習(xí)題3.2第2,，6 題

選做題：已知等差數(shù)列{ }的首項(xiàng) = -24，從第10項(xiàng)開始為正數(shù),，求公差d的取值范圍,。（目的：通過分層作業(yè)，提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求）

在板書中突出本節(jié)重點(diǎn),，將強(qiáng)調(diào)的地方如定義中,，“從第二項(xiàng)起”及“同一常數(shù)”等幾個(gè)字用紅色粉筆標(biāo)注，同時(shí)給學(xué)生留有作題的地方,，整個(gè)板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法,。

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇四

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用,，而且起著承前啟后的作用,。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備,。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”,、“類比”的思想方法,。

一、片頭

（30秒以內(nèi)）

前面學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,，今天我們來學(xué)習(xí)一種特殊的數(shù)列－等差數(shù)列,。本節(jié)微課重點(diǎn)講解等差數(shù)列的定義， 并且能初步判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列,。

30秒以內(nèi)

二,、正文講解（8分鐘左右）

第一部分內(nèi)容：由三個(gè)問題,，通過判斷分析總結(jié)出等差數(shù)列的定義 60 秒

第二部分內(nèi)容：給出等差數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)表達(dá)式50 秒

第三部分內(nèi)容：哪些數(shù)列是等差數(shù)列？并且求出首項(xiàng)與公差,。根據(jù)這個(gè)練習(xí)總結(jié)出幾個(gè)常用的結(jié)152秒

三,、結(jié)尾

（30秒以內(nèi)）授課完畢，謝謝聆聽,！30秒以內(nèi)

本節(jié)課通過生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生觀察,，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列,，培養(yǎng)了學(xué)生觀察,、分析、歸納,、推理的能力,。充分體現(xiàn)了學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程，使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列有了從感性到理性的認(rèn)識(shí)過程,。

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇五

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握等差數(shù)列的概念；理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程,；了解 等差數(shù)列的函數(shù)特征,；能用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相應(yīng)的一些問題。

2.過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生親身經(jīng)歷“從特殊入手,，研究對(duì)象的性質(zhì),，再逐步擴(kuò)大到一般”這一研究過程，培養(yǎng)他們觀察,、分析,、歸納、推理的能力,。通過階梯性的強(qiáng)化練習(xí),，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過對(duì)等差數(shù)列的研究,，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索,、勇于發(fā)現(xiàn)的求索精神；使學(xué)生逐步養(yǎng)成細(xì)心觀察,、認(rèn)真分析,、及時(shí)總結(jié)的好習(xí)慣。

1.教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念的理解,，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用,。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）對(duì)等差數(shù)列中“等差”兩字的把握；

（2）等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo),。

一.課題引入

創(chuàng)設(shè)情境 引入課題：(這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列,，下面我們看這樣一些例子）

（1）,、在過去的三百多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷慧星：

1682,，1758,，1834，1910,，1986,，（ ）

你能預(yù)測(cè)出下次觀測(cè)到哈雷慧星的大致時(shí)間嗎？判斷的依據(jù)是什么呢,？

（2）,、通常情況下，從地面到11km的高空,，氣溫隨高度的變化而變化符合一定的規(guī)律,，請(qǐng)你根據(jù)下表估計(jì)一下珠穆朗瑪峰峰頂?shù)臏囟取?/p>

（3） 1，4,，7,，10，（ ）,，16,，…

（4） 2，0,，-2,，-4，-6,，（ ）,…

它們共同的規(guī)律是,？

從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),。

我們把有這一特點(diǎn)的數(shù)列叫做等差數(shù)列,。

二、新課探究

（一）等差數(shù)列的定義

1,、等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,，通常用字母d來表示。

（1）定義中的關(guān)健詞有哪些,？

（2）公差d是哪兩個(gè)數(shù)的差,？

2、等差數(shù)列定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

試一試：它們是等差數(shù)列嗎,？

(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…

(2) 5,，5,，5，5,，5,，5，…

(3) -1,，-3,，-5，-7,，-9,…

(4) 數(shù)列{an},，若an+1-an=3

3、等差中頂定義

在如下的兩個(gè)數(shù)之間,，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：

（1）,、2 ，( ) ,4 （2）,、-12,( ) ,，0 ( 3 ) a ,( ),b

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)a，使a,，a,，b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng),。

（二）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

探究1:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(求法一)

如果等差數(shù)列 首項(xiàng)是 ，公差是 ,，那么這個(gè)等差數(shù)列 如何表示,？ 呢？

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得：

,， ,， ，…,。

所以： ,，

，

,，

……

由此得 ,，

因此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是: ，

探究2:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(求法二)

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得：

……

將以上 -1個(gè)式子相加得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是: ,，

三,、應(yīng)用與探索

例1、(1) 求等差數(shù)列8,，5,，2,，…，的第20項(xiàng),。

(2) 等差數(shù)列 -5,，-9，-13,，…,，的第幾項(xiàng)是 –401？

（2）,、分析：要判斷-401是不是數(shù)列的項(xiàng),，關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式，并判斷是否存在正整數(shù)n,，使得 成立,，實(shí)質(zhì)上是要求方程 的正整數(shù)解。

例2,、在等差數(shù)列中,已知 =10, =31,，求首項(xiàng) 與公差d.

解：由 ，得 ,。

在應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d過程中,對(duì)an,a1,n,d這四個(gè)變量,知道其中三個(gè)量就可以求余下的一個(gè)量,這是一種方程的思想,。

鞏固練習(xí)

1. 等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為 a-6，-3a-5,，-10a-1,則a =（ ）,。

a. 1 b. -1 c. -2 d. 22.一張?zhí)葑幼罡咭患?jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110cm,中間還有10級(jí),，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列,。求公差d。四,、小結(jié)

1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

公差 ,；

2. 等差數(shù)列的計(jì)算問題,通常知道其中三個(gè)量就可以利用通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,求余下的一個(gè)量；

3. 判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列只需看 是否為常數(shù)即可,；

4. 利用從特殊到一般的思維去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)系規(guī)律或解決數(shù)學(xué)問題.

五,、作業(yè)：

1、必做題：課本第40頁 習(xí)題2.2 第1,，3,，5題

2、選做題：如何以最快的速度求：1+2+3++100=

高斯說：“請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)下一節(jié)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,?！?/p>

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇六

（1）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,；

(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能由a1,d,n,an“知三求一”,，了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想,；

（3）通過作等差數(shù)列的圖像，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想,、函數(shù)思想,；通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)用，滲透方程思想,。

等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,。

一般數(shù)列定義通項(xiàng)公式法

遞推公式法

等差數(shù)列表示法應(yīng)用

圖示法

性質(zhì)列舉法

（一）創(chuàng)設(shè)情境：

1．觀察下列數(shù)列：

1，2,，3,，4，……,；(軍訓(xùn)時(shí)某排同學(xué)報(bào)數(shù))①

10000,，9000，8000,，7000,，……；（溫州市房?jī)r(jià)平均每月每平方下跌的價(jià)位）②

2,，2,，2，2,，……,；（坐38路公交車的車費(fèi)）③

問題：上述三個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)很多規(guī)律,，如都是整數(shù),，再舉幾個(gè)非整數(shù)等差數(shù)列例子讓學(xué)生觀察）

規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù),。

引出等差數(shù)列。

（二）新課講解：

1．等差數(shù)列定義：

一般地,，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,，公差通常用字母表示。

問題：

（a）能否用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述等差數(shù)列的定義,？

用遞推公式表示為或．

(b)例1：觀察下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（1）1,，-1，1,，-1,，…

(2)1,2,4,6,8,10,…

意在強(qiáng)調(diào)定義中“同一個(gè)常數(shù)”

(c)例2：求上述三個(gè)數(shù)列的公差,；公差d可取哪些值？d>0,，d=0,d<0時(shí),，數(shù)列有什么特點(diǎn)（d有不同的分類，如按整數(shù)分?jǐn)?shù)分類,，再舉幾個(gè)等差數(shù)列的例子觀察d的分類對(duì)數(shù)列的影響）

說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列,，為遞減數(shù)列,。

例3：求等差數(shù)列13，8,，3,，-2，…的第5項(xiàng),。第89項(xiàng)呢,？

放手讓學(xué)生利用各種方法求a89，從中找出合適的方法,，如利用不完全歸納法或累加法,，然后引出求一般等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)是,，公差是,，求．

（1）由遞推公式利用用不完全歸納法得出

由等差數(shù)列的定義：，,，,，……

∴，,，,，……

所以，該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：．

(驗(yàn)證n=1時(shí)成立),。

這種由特殊到一般的推導(dǎo)方法,，不能代替嚴(yán)格證明。要用數(shù)學(xué)歸納法證明的,。

（2）累加法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

讓學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)過程,。(驗(yàn)證n=1時(shí)成立)

3．例題及練習(xí)：

應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

追問：（1）-232是否為例3等差數(shù)列中的項(xiàng)？若是,，是第幾項(xiàng),？

（2）此數(shù)列中有多少項(xiàng)屬于區(qū)間[-100，0]？

法一：求出a1,d,借助等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a20,。

法二：求出d,，a20=a5+15d=a12+8d

在例4基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生猜想證明

練習(xí)：

梯子的最高一級(jí)寬31cm,，最低一級(jí)寬119cm,中間還有3級(jí),，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，請(qǐng)計(jì)算中間各級(jí)的寬度,。

觀察圖像特征,。

思考：an是關(guān)于n的一次式，是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的什么條件,？

課后反思：這節(jié)課的重點(diǎn)是等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式概念的理解,，而不是公式的應(yīng)用，有些應(yīng)試教育的味道,。有時(shí)搶學(xué)生的回答,，沒有真正放手讓學(xué)生的思維發(fā)展，學(xué)生活動(dòng)太少,，課堂氛圍不好,。學(xué)生對(duì)問題的反應(yīng)出乎設(shè)計(jì)的意料時(shí)，應(yīng)該順著學(xué)生的思維發(fā)展,。

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇七

一,、知識(shí)與技能

1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；

2.體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程;

3.會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,。

二,、過程與方法

1． 通過對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，體會(huì)倒序相加求和的思想方法,；

2. 通過公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想,。

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來,，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并通過對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解,，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化,。

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中體會(huì)倒序相加的思想方法,。

本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略,。利用數(shù)形結(jié)合,、類比歸納的思想，層層深入,，通過學(xué)生自主探究,、分析,、整理出推導(dǎo)公式的思路，同時(shí),，借助多媒體的直觀演示,，幫助學(xué)生理解，師生互動(dòng),、講練結(jié)合,，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn),。

多媒體軟件,，電腦

一、明確數(shù)列前n項(xiàng)和的定義,，確定本節(jié)課中心任務(wù):

本節(jié)課我們來學(xué)習(xí)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》,，那么什么叫數(shù)列的前n項(xiàng)和呢，對(duì)于數(shù)列{an}：a1,，a2,，a3，…,，an,，…我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用sn表示,，記sn=a1+a2+a3+…+an,，

如s1 =a1， s7 =a1+a2+a3+……+a7,，下面我們來共同探究如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,。

二、問題牽引,，探究發(fā)現(xiàn)

問題1：（播放媒體資料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇跡之一,。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成,，共有100層（見圖）,，奢靡之程度，可見一斑,。你知道這個(gè)圖案一共花了多少圓寶石嗎,？

即: s100=1+2+3+······+100=？

著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算,，聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢,？請(qǐng)同學(xué)們思考高斯方法的特點(diǎn)，適合類型和方法本質(zhì)。

特點(diǎn)： 首項(xiàng)與末項(xiàng)的和： 1＋100＝101,，

第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和： 2＋99 ＝101,，

第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和： 3＋98 ＝101，

……

第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和： 50＋51＝101,，

于是所求的和是： 101×50＝5050,。

1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050

同學(xué)們討論后總結(jié)發(fā)言：等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)相加時(shí)首尾配對(duì)，變不同數(shù)的加法運(yùn)算為相同數(shù)的乘法運(yùn)算大大提高效率,。高斯的方法很妙,，如果等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)怎么辦呢？

探索與發(fā)現(xiàn)1：假如讓你計(jì)算從第一層到第21層的珠寶數(shù),，高斯的首尾配對(duì)法行嗎,？

即計(jì)算s21=1+2+3+ ······ +21的值，在這個(gè)過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),，首尾配對(duì)出現(xiàn)了問題,，通過動(dòng)畫演示引導(dǎo)幫助學(xué)生思考解決問題的辦法，為引出倒序相加法做鋪墊,。

把“全等三角形”倒置,，與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為21個(gè),，共21行,。有什么啟發(fā)？

1+ 2 + 3 + …… +20 +21

21 + 20 + 19 + …… + 2 +1

s21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231

這個(gè)方法也很好,，那么項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)這個(gè)方法還行嗎,？

探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？

學(xué)生探究的同時(shí)通過動(dòng)畫演示幫助學(xué)生思考剛才的方法是否同樣可行,？請(qǐng)同學(xué)們自主探究一下（老師演示動(dòng)畫幫助學(xué)生）

s8=5+6+7+8+9+10+11+12=

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時(shí)倒序相加是否可行,。從而得出倒序相加法適合任意項(xiàng)數(shù)的等差數(shù)列求和，最終確立倒序相加的思想和方法,！

好,，這樣我們就找到了一個(gè)好方法——倒序相加法！現(xiàn)在來試一試如何求下面這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,？

問題2：等差數(shù)列1,2,3,…,n, … 的前n項(xiàng)和怎么求呢,？

解:（根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)學(xué)生自主思考獨(dú)立完成）

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化倒序相加法的理解和運(yùn)用,，為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎(chǔ),。

至此同學(xué)們已經(jīng)掌握了倒序相加法，相信大家可以推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式了,。

問題3：對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1,，公差為d,，如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和sn公式呢？

即求 =a1+a2+a3+……+an=

∴（1）+（2）可得：2

∴

公式變形：將代入可得：

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在前面的探究基礎(chǔ)上水到渠成順理成章很快就可以推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,，從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)。在這個(gè)過程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo),，同時(shí)也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本性質(zhì),。

三、公式的認(rèn)識(shí)與理解：

1,、根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式為：

（公式一）

（公式二）

探究：

1,、

（1）相同點(diǎn)： 都需知道a1與n;

（2）不同點(diǎn)： 第一個(gè)還需知道an ，第二個(gè)還需知道d;

（3）明確若a1,d,n,an中已知三個(gè)量就可求sn,。

2,、兩個(gè)公式共涉及a1, d, n, an，sn五個(gè)量,，“知三”可“求二”,。

2、探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系,？

用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式,，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理,，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列 n 項(xiàng)和的兩個(gè)公式.,，請(qǐng)學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來有助于記憶。

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生類比聯(lián)想,，拓展思維,，增加興趣，強(qiáng)化記憶

四,、公式應(yīng)用,、講練結(jié)合

1、練一練：

有了兩個(gè)公式,，請(qǐng)同學(xué)們來練一練,，看誰做的快做的對(duì)！

根據(jù)下列各題中的條件,，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的sn ：

（1）a1=5,，an=95，n=10

解：500

（2）a1=100,，d=－2,，n=50

解：

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉并強(qiáng)化公式的理解和應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固“知三求二”,。

下面我們來看兩個(gè)例題：

2,、例題1：

2000年11月14日教育部下發(fā)了<<關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知>>.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng). 據(jù)測(cè)算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?

解:設(shè)從2001年起第n年投入的資金為an,根據(jù)題意,數(shù)列｛an｝是一個(gè)等差數(shù)列,其中 a1=500, d=50

那么,，到2010年（n=10），投入的資金總額為

答: 從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元,。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列知識(shí)在生活中的應(yīng)用及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法,。

3、例題2：

已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310,，前20項(xiàng)的和是1220,，由這些條件可以確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

解：

法1：由題意知

,

代入公式得：

解得,

法2：由題意知

,

代入公式得：

,，

即,，

②①得，,，故

由得故

【設(shè)計(jì)意圖】掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會(huì)方程的思想方法,。

4、反饋達(dá)標(biāo):

練習(xí)一：在等差數(shù)列{an}中,，a1=20,， an=54，sn =999,求n.

解：由解n=27

練習(xí)2： 已知{an}為等差數(shù)列,，,求公差,。

解：由公式得

即d=2

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一強(qiáng)化求和公式的靈活應(yīng)用及化歸的思想（化歸到首項(xiàng)和公差這兩個(gè)基本元）。

五,、歸納總結(jié) 分享收獲：(活躍課堂氣氛,，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力)

1,、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用,；

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程,；

3,、掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,;

4、前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用及方程的思想,。

…………

六,、作業(yè)布置：

（一）書面作業(yè)：

1.已知等差數(shù)列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。

2.在a,，b之間插入10個(gè)數(shù),，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和。

（二）課后思考：

思考：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?

【設(shè)計(jì)意圖】通過布置書面作業(yè)鞏固所學(xué)知識(shí)及方法,，同時(shí)通過布置課后思考題來延伸知識(shí)拓展思維,。

附：板書設(shè)計(jì)

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：

2,、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：

3,、公式的認(rèn)識(shí)與理解：

公式一：

公式二：

四：例題及解答：

議練活動(dòng)：

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇八

1.通過教與學(xué)的互動(dòng),，使學(xué)生加深對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)，能參與編擬一些簡(jiǎn)單的問題,，并解決這些問題,；

2.利用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù),、公差,、首項(xiàng)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程思想,；

3.通過參與編題解題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)是通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí),；

教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)公式的靈活運(yùn)用．

實(shí)物投影儀,，多媒體軟件，電腦.

研探式.

一.復(fù)習(xí)提問

前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念,、表示法,，請(qǐng)同學(xué)們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些,？

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系加以定義的,，這個(gè)關(guān)系用遞推公式來表示比較簡(jiǎn)單，但我們要圍繞通項(xiàng)公式作進(jìn)一步的理解與應(yīng)用.

二.主體設(shè)計(jì)

通項(xiàng)公式 反映了項(xiàng) 與項(xiàng)數(shù) 之間的函數(shù)關(guān)系,，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首項(xiàng)與公差確定后,，數(shù)列的每一項(xiàng)便確定了，可以求指定的項(xiàng)（即已知 求 ）.找學(xué)生試舉一例如：“已知等差數(shù)列 中,，首項(xiàng) ,，公差 ，求 .”這是通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,，由學(xué)生解答后,，要求每個(gè)學(xué)生出一些運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的題目，包括正用,、反用與變用,，簡(jiǎn)單、復(fù)雜,，定量,、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來,，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運(yùn)用

（1）已知等差數(shù)列 中,，首項(xiàng) ，公差 ,，則－397是該數(shù)列的第 項(xiàng).

（2）已知等差數(shù)列 中,，首項(xiàng) ,， 則公差

（3）已知等差數(shù)列 中，公差 ,， 則首項(xiàng)

這一類問題先由學(xué)生解決,，之后教師點(diǎn)評(píng)，四個(gè)量 ,， 在一個(gè)等式中,，運(yùn)用方程的思想方法，已知其中三個(gè)量的值,，可以求得第四個(gè)量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差數(shù)列 中,， ，求 的值.

（2）已知等差數(shù)列 中,， ,， 求 .

若學(xué)生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請(qǐng)出題者,、解題者概括）：因?yàn)橐阎獥l件可以化為關(guān)于 和 的二元方程組,，所以這些等差數(shù)列是確定的，由 和 寫出通項(xiàng)公式,，便可歸結(jié)為前一類問題.解決這類問題只需把兩個(gè)條件（等式）化為關(guān)于 和 的二元方程組,，以求得 和 ， 和 稱作基本量.

教師提出新的問題,，已知等差數(shù)列的一個(gè)條件（等式）,，能否確定一個(gè)等差數(shù)列？學(xué)生回答后,，教師再啟發(fā),，由這一個(gè)條件可得到關(guān)于 和 的二元方程，這是一個(gè) 和 的制約關(guān)系,，從這個(gè)關(guān)系可以得到什么結(jié)論,？舉例說明（例題可由學(xué)生或教師給出，視具體情況而定）.

如：已知等差數(shù)列 中,， …

由條件可得 即 ,，可知 ，這是比較顯然的,，與之相關(guān)的還能有什么結(jié)論,？若學(xué)生答不出可提示，一定得某一項(xiàng)的值么,？能否與兩項(xiàng)有關(guān),？多項(xiàng)有關(guān)？由學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,，完善問題

（3）已知等差數(shù)列 中,， 求 ,； ； ,； ,；….

類似的還有

（4）已知等差數(shù)列 中， 求 的值.

以上屬于對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行定量的研究,，有無定性的判斷,？引出

3.研究等差數(shù)列的單調(diào)性，考察 隨項(xiàng)數(shù) 的變化規(guī)律,，著重考慮 的情況. 此時(shí) 是 的一次函數(shù),，其單調(diào)性取決于 的符號(hào)，由學(xué)生敘述結(jié)果,，這個(gè)結(jié)果與考察相鄰兩項(xiàng)的差所得結(jié)果是一致的,，

4.研究項(xiàng)的符號(hào)

這是為研究等差數(shù)列前 項(xiàng)和的最值所做的準(zhǔn)備工作.可配備的題目如

（1）已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，問數(shù)列從第幾項(xiàng)開始小于0,？

（2）等差數(shù)列 從第 項(xiàng)起以后每項(xiàng)均為負(fù)數(shù).

三.小結(jié)

1. 用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式；

2. 用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.

高中等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)案例 高中等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)與反思篇九

1,、等差數(shù)列的定義：一般地,，如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) ,，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ， 通常用字母 表示,。

2,、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) 組成等差數(shù)列，那么a叫做 與 的 ,，

即 或 ,。

3、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差 時(shí),，數(shù)列為遞增數(shù)列; 時(shí),，數(shù)列為遞減數(shù)列; 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 ,。

4,、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 。

5,、判斷正誤：

①1,，2，3,，4,，5是等差數(shù)列; （ ）

②1,，1，2,，3,，4，5是等差數(shù)列; （ ）

③數(shù)列6,，4,，2，0是公差為2的等差數(shù)列; （ ）

④數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; （ ）

⑤數(shù)列 是等差數(shù)列; （ ）

⑥若 ,，則 成等差數(shù)列; （ ）

⑦若 ,，則數(shù)列 成等差數(shù)列; （ ）

⑧等差數(shù)列是相鄰兩項(xiàng)中后項(xiàng)與前項(xiàng)之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; （ ）

⑨等差數(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的差。 （ ）

6,、思考：如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,。

例1、（1）求等差數(shù)列8,，5,，2，的第20項(xiàng),。

（2） 是不是等差數(shù)列 中的項(xiàng),？如果是，是第幾項(xiàng),？

（3）已知數(shù)列 的公差 則

例2,、已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，其中 為常數(shù),，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎,？

例3、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,，它們的和為5,，平方和為 求這5個(gè)數(shù)。