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數(shù)學向量知識點梳理篇一

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理學中又叫做矢量.如力,、速度、加速度,、位移就是向量.

向量可以用一條有向線段(帶有方向的線段)來表示,，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一個小寫字母a,，b,，c表示，或用兩個大寫字母加表示(其中前面的字母為起點,，后面的字母為終點)

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量,，叫做平行向量.平行向量也叫做共線向量.

若向量a、b平行,，記作a∥b.

規(guī)定：0與任一向量平行.

(6)相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有兩個要素：一是長度相等,，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a,，b相等記作a=b.

③零向量都相等.

④任何兩個相等的非零向量,，都可用同一有向線段表示，但特別要注意向量相等與有向線段的起點無關(guān).

(1)向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量,，既有大小,，又有方向，任意兩個向量不能比較大小,，只可以判斷它們是否相等,，但向量的?？梢员容^大小.

(2)向量共線與表示它們的有向線段共線不同.向量共線時，表示向量的有向線段可以是平行的,，不一定在同一條直線上;而有向線段共線則是指線段必須在同一條直線上.

(3)由向量相等的定義可知,，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向,，它是可以任意平行移動的,，因此用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點,，由此也可得到：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上.

(1)交換律：α+β=β+α

(2)結(jié)合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)

(3)數(shù)量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα

(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ

數(shù)學向量知識點梳理篇二

平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a和b,，它們的夾角為，把數(shù)量|a||b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),，記作ab.即ab=|a||b|cos ,，規(guī)定0a=0.

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究] 根據(jù)數(shù)量積的運算律，判斷下列結(jié)論是否成立.

(1)ab=ac,，則b=c嗎?

(2)(ab)c=a(bc)嗎?

提示：(1)不一定,，a=0時不成立，

另外a0時,，ab=ac.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定;

(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

(ab)c是c方向上的向量,，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.

數(shù)學向量知識點梳理篇三

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段,，以a為起點,，b為終點的有向線段記作或ab,；

向量的模：有向線段ab的長度叫做向量的模,，記作|ab|；

零向量：長度等于0的向量叫做零向量,，記作或0,。（注意粗體格式，實數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的,，書寫時要在實數(shù)“0”上加箭頭,，以免混淆）；

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量,；

平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量,，零向量與任意向量平行，即0//a,；

單位向量：模等于1個單位長度的向量叫做單位向量,，通常用e表示，平行于坐標軸的單位向量習慣上分別用i,、j表示,。

相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量,，—（—a）=a,，零向量的相反向量仍然是零向量。

加法與減法的代數(shù)運算：

（1）若a=（x1,，y1）,，b=（x2，y2）則a b=（x1+x2,，y1+y2）,。

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則,。

向量加法有如下規(guī)律：+ = +（交換律）,；+（+c）=（+）+c（結(jié)合律）；

實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的'積是一個向量,。

（1）| |=| |·| |,；

（2）當a>0時，與a的方向相同,；當a<0時,，與a的方向相反；當a=0時,，a=0,。

兩個向量共線的充要條件：

（1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b= ,。

（2）若=（）,，b=（）則‖b 。

若e1,、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù),，,，使得= e1+ e2。

三角形abc內(nèi)一點o,，oa·ob=ob·oc=oc·oa,，則點o是三角形的垂心。

若o是三角形abc的外心,，點m滿足oa+ob+oc=om,，則m是三角形abc的垂心。

若o和三角形abc共面,，且滿足oa+ob+oc=0,，則o是三角形abc的重心,。

三點共線：三點a，b,，c共線推出oa=μob+aoc（μ+a=1）

數(shù)學向量知識點梳理篇四

1．有向線段的定義

線段的端點a為始點,，端點b為終點，這時線段ab具有射線ab的方向.像這樣,，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.

2.有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點,、方向和長度.

3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個要素：大小和方向.

(2)向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時,，也稱其為向量.書寫時,，則用帶箭頭的小寫字母，,，,，來表示.

4.向量的長度（模）：如果向量=，那么有向線段的長度表示向量的大小,，叫做向量的長度(或模),，記作||.

5．相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等,，記作：=.

6．相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量,，記作：-.

7．向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行,，向量平行也稱向量共線.向量平行于向量,，記作//.規(guī)定： //.

8．零向量：長度等于零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的,，是任意的.由于零向量方向的特殊性,，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.

9．單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量.

10．向量的加法運算：

(1)向量加法的三角形法則

1１．向量的減法運算

12,、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關(guān)系

對于任意兩個向量,，，都有|||-|||||+||.

13．數(shù)乘向量的定義：

實數(shù)和向量的乘積是一個向量,，這種運算叫做數(shù)乘向量，記作.

向量的長度與方向規(guī)定為：(1)||=|

(2)當0時,，與方向相同;當0時,，與方向相反.

(3)當=0時，當=時,，=.

14．數(shù)乘向量的運算律：(1))= (結(jié)合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量,，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數(shù),，使得=.

如果與不共線,，若m=n,，則m=n=0.

16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.

=||,，即==(,，)

17．線段中點的向量表達式

點m是線段ab的中點，o是平面內(nèi)任意一點,，則=(+).

18．平面向量的直角坐標運算：如果=(a1,，a2)，=(b1,，b2),，則

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1,，a2-b2);=(a1,，a2).

19．利用兩點表示向量：如果a(x1，y1),，b(x2,，y2)，則=(x2-x1,，y2-y1).

20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1,，a2)，=(b1,，b2) ,，則

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10,，b20,，則// =.

21．向量的長度公式：若=(a1，a2),，則||=.

22．平面上兩點間的距離公式：若a(x1,，y1)，b(x2,，y2),，則||=.

23．中點公式

若點a(x1，y1),，點b(x2,，y2)，點m(x,，y)是線段ab的中點,，則x=，y= .

24．重心公式

在△abc中,，若a(x1,，y1),，b(x2，y2),，a(x3,，y3)，,，△abc的重心為g(x,，y)，則

x=,，y=

2５．（1)兩個向量夾角的取值范圍是[0,，p]，即0,，p.

當=0時,，與同向;當=p時，與反向

當= 時,，與垂直,，記作.

(3)向量的內(nèi)積定義：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數(shù)量.規(guī)定=0.

(4)內(nèi)積的幾何意義

與的內(nèi)積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數(shù)量,，或的模與在 方向上的正射影數(shù)量的乘積

當0,，90時，0;=90時,，

90時,，0.

26．向量內(nèi)積的運算律：

(1)交換率

(2)數(shù)乘結(jié)合律

(3)分配律

(4)不滿足組合律

27．向量內(nèi)積滿足乘法公式

29．向量內(nèi)積的應(yīng)用：

數(shù)學向量知識點梳理篇五

戴氏航天學校老師總結(jié)加法與減法的代數(shù)運算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則,。

戴氏航天學校老師總結(jié)向量加法有如下規(guī)律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù),，使得b= .

(2) 若=(),b=()則‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,，戴氏航天學校老師提醒有且只 有一對實數(shù)，,，使得= e1+ e2

數(shù)學向量知識點梳理篇六

定義：已知兩個非零向量a,b,。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積,、點積)是一個數(shù)量,，記作ab。若a,、b不共線，則ab=abcos〈a,，b〉;若a,、b共線,，則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標表示：ab=xx+yy,。

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方,。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab,。

1,、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2,。

2,、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0),，推不出 b=c,。

3、ab≠ab

4,、由 a=b ,，推不出 a=b或a=-b。

數(shù)學向量知識點梳理篇七

1.理解平面向量的概念與幾何表示,、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運算及其意義;理解兩個向量共線的含義,了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

2.了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;會用坐標表示平面向量的加法,、減法與數(shù)乘運算;理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

3.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算;能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

高考對平面向量的考點分為以下兩類:

(1)考查平面向量的概念、性質(zhì)和運算,向量概念所含內(nèi)容較多,如單位向量,、共線向量,、方向向量等基本概念和向量的加、減,、數(shù)乘,、數(shù)量積等運算，高考中或直接考查或用以解決有關(guān)長度,，垂直,，夾角，判斷多邊形的形狀等,，此類題一般以選擇題形式出現(xiàn),，難度不大.

(2)考查平面向量的綜合應(yīng)用.平面向量常與平面幾何、解析幾何,、三角等內(nèi)容交叉滲透,，使數(shù)學問題的情境新穎別致，自然流暢,，此類題一般以解答題形式出現(xiàn),，綜合性較強.

1.向量的加法與減法:掌握平行四邊形法則、三角形法則,、多邊形法則,，加法的運算律;

2.實數(shù)與向量的乘積及是一個向量,，熟練其含義;

3.兩個向量共線的條件:平面向量基本定理、向量共線的坐標表示;

4.兩個向量夾角的范圍是:[0,π]

5.向量的數(shù)量積:熟練定義,、性質(zhì)及運算律,，向量的模，兩個向量垂直的充要條件.

數(shù)學向量知識點梳理篇八

【內(nèi)容解讀】了解向量的實際背景,，掌握向量,、零向量、平行向量,、共線向量,、單位向量、相等向量等概念,，理解向量的幾何表示,，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解,，向量是可以自由移動的,，平移后所得向量與原向量相同;兩個向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小,。

考點二：向量的運算

【內(nèi)容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則,、三角形法則進行向量的加減運算;掌握實數(shù)與向量的積運算,，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運算,，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系,，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標表達式,，會進行平面向量積的運算,，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,。

【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇,、填空題型出現(xiàn)，難度不大,，考查重點為模和向量夾角的定義,、夾角公式、向量的坐標運算,，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合,。

考點三：定比分點

【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應(yīng)用，求點分有向線段所成比時,，可借助圖形來幫助理解,。

【命題規(guī)律】重點考查定義和公式,，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn),，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性,，經(jīng)常也會與三角函數(shù),，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中,，難度以中檔題為主,，偶爾也以難度略高的題目。

考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題,，考查了向量的知識,，三角函數(shù)的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求,。

【命題規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標,，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題,，屬中檔偏易題,。

考點五：平面向量與函數(shù)問題的交匯

【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主,，要注意自變量的取值范圍,。

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題,。

考點六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

【內(nèi)容解讀】向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標表示后,，使向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此,，許多平面幾何問題中較難解決的問題,，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當?shù)淖鴺讼抵校x予幾何圖形有關(guān)點與平面向量具體的坐標,，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算,，從而使問題得到解決.

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題,。