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一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例題 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系筆記篇一

1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用它由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知系數(shù),；

2.通過根與系數(shù)的教學(xué),，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察,、歸納的能力和推理論證的能力,；

3.通過本節(jié)課的教學(xué)，向?qū)W生滲透由特殊到一般,，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律,。

和難點(diǎn)：

二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo),。

2.：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系,。

3.教學(xué)疑點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和,，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。

4.解決辦法,；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)用韋達(dá)定理,，必須注意這個(gè)前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程,，即二次項(xiàng)系數(shù),，因此，解題時(shí),，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件和,。

三、教學(xué)步驟

（一）

1.復(fù)習(xí)提問

（1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式,。

（2）解方程①,，②。

觀察,、思考兩根和,、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。

在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下,，由沉重得出結(jié)論,，教師提問：所有的一元二次方程的兩個(gè)根都有這樣的規(guī)律嗎？

2.推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系,。

設(shè)是方程的兩個(gè)根,。

∴

∴

以上一名學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo),。

由此得出,，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。（一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系）

結(jié)論1.如果的兩個(gè)根是,，那么,。

如果把方程變形為。

我們就可把它寫成

,。

的形式,，其中。從而得出：

結(jié)論2.如果方程的兩個(gè)根是,，那么,。

結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時(shí)給研究問題帶來方便,。

練習(xí)1.（口答）下列方程中,，兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）；（2）,；（3）,；

（4）；（5）,；（6）

此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系,。

3.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。

（1）驗(yàn)根,。（口答）判定下列各方程后面的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根,。

①；②,；③,；

④；⑤,。

驗(yàn)根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用,，應(yīng)用時(shí)要注意三個(gè)問題：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次項(xiàng)系數(shù),，（3）還要注意中的負(fù)號,。

（2）已知方程一根，求另一根,。

例：已知方程的根是2,，求它的另一根及k的值。

解法1：設(shè)方程的另一根為,，那么,。

∴

又? ∵? 。

答：方程的另一根是,，k的值是－7,。

此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程達(dá)到目的,，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法,，并且作比較。

方法（二）? ∵? 2是方程的根,，

∴

∴? 原方程可變?yōu)?/p>

解此方程,。

方法（三）∵? 2是方程的根，

∴

答：方程的另一根是,，k的值是－7。

學(xué)生進(jìn)行比較,，方法（二）不如方法（一）和（三）簡單,，從而認(rèn)識到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值。

練習(xí)：教材p32)白話文○(中2。

筆答,、板書,，評價(jià)，體會,。

（二）總結(jié),、擴(kuò)展

（12）??? 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系,，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具,，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ),。

2.以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo),，向?qū)W生展示認(rèn)識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維,，勇于探索的精神,，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察,、歸納的能力及推理論證的能力

3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,，在中考中多以填空，選擇,，解答題的形式出現(xiàn),，考查的頻率較高，也常與幾何,、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查,，是考試的熱點(diǎn)，它是方程理論的重要組成部分,。

四,、布置作業(yè)

教材p32中1? p33中a1。

五,、

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例題 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系筆記篇二

一,、目標(biāo)

1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用它由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知系數(shù),；

2.通過根與系數(shù)的,，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察,、歸納的能力和推理論證的能力,；

3.通過本節(jié)課的，向?qū)W生滲透由特殊到一般,，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律,。

重點(diǎn)和難點(diǎn)：

二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.重點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)。

2.難點(diǎn)：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系,。

3.疑點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和,，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。

4.解決辦法,；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)用韋達(dá)定理,，必須注意這個(gè)前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程,，即二次項(xiàng)系數(shù),，因此，解題時(shí),，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件和,。

三、步驟

（一）過程

1.復(fù)習(xí)提問

（1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式,。

（2）解方程①,，②。

觀察,、思考兩根和,、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。

在的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下,，由沉重得出結(jié)論,，提問：所有的一元二次方程的兩個(gè)根都有這樣的規(guī)律嗎？

2.推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系,。

設(shè)是方程的兩個(gè)根,。

∴

∴

以上一名學(xué)生，其他學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo),。

由此得出,，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。（一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系）

結(jié)論1.如果的兩個(gè)根是,，那么,。

如果把方程變形為。

我們就可把它寫成

,。

的形式,，其中。從而得出：

結(jié)論2.如果方程的兩個(gè)根是,，那么,。

結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時(shí)給研究問題帶來方便,。

練習(xí)1.（口答）下列方程中,，兩根的和與兩根的積各是多少,？

（1）；（2）,；（3）；

（4）,；（5）,；（6）

此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系。

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一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例題 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系筆記篇三

一,、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)：1.使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義,；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項(xiàng)系數(shù),、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng),。

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：1.通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,；2.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),，培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性。

（三）德育滲透點(diǎn)：由知識來源于實(shí)際,，樹立轉(zhuǎn)化的思想,，由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法，由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識,。

二,、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程的意義及一般形式,。

2.教學(xué)難點(diǎn)?：正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”,。

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片,，在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,，然后把四邊折起來，就成為一個(gè)無蓋的長方體盒子,，演示完畢,，讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀，實(shí)際操作一下剛才演示的過程,。學(xué)生的實(shí)際操作,，為解決下面的問題奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生手,、腦,、眼并用的能力。

2.現(xiàn)有一塊長80cm,，寬60cm的薄鋼片,，在每個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應(yīng)該怎樣求出截去的小正方形的邊長,？

教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù),、列方程，經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0,，此方程不會解,，說明所學(xué)知識不夠用，需要學(xué)習(xí)新的知識,，學(xué)了本章的知識,，就可以解這個(gè)方程，從而解決上述問題,。

板書：“第十二章一元二次方程”,。教師恰當(dāng)?shù)恼Z言，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣,。

（二）整體感知

通過章前引例和節(jié)前引例,，使學(xué)生真正認(rèn)識到知識來源于實(shí)際，并且又為實(shí)際服務(wù),，學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識,，可以解決許多實(shí)際問題，真正體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義,；產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識,，調(diào)動學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)活動中。同時(shí)讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位,。

（三）重點(diǎn),、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程

1.復(fù)習(xí)提問

（1）什么叫做方程？曾學(xué)過哪些方程,？

（2）什么叫做一元一次方程,？“元”和“次”的含義？

（3）什么叫做分式方程,？

問題的提出及解決,，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊。

2.引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm,，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪,？

引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程,，并整理得方程x2+5x-150=0,，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較,，得到整式方程和一元二次方程的概念,。

整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,，這樣的方程稱為整式方程,。

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,，這樣的整式方程叫做一元二次方程,。

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的,。一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個(gè)未知數(shù)”,，“二次”指的是“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”,。“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎(chǔ),。一元二次方程的定義是指方程進(jìn)行合并同類項(xiàng)整理后而言的。這實(shí)際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進(jìn)行合并同類項(xiàng)整理,，再按定義進(jìn)行判斷,。

3.練習(xí)：指出下列方程，哪些是一元二次方程,？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2,；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x,；

（5）2x2＝5y,；

（6）-x2＝0

4.任何一個(gè)一元二次方程都可以化為一個(gè)固定的形式，這個(gè)形式就是一元二次方程的一般形式,。

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2稱二次項(xiàng),，bx稱一次項(xiàng)，c稱常數(shù)項(xiàng),，a稱二次項(xiàng)系數(shù),，b稱一次項(xiàng)系數(shù)。

一般式中的“a≠0”為什么,？如果a＝0,，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解,。

5.例1? 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式,，并寫出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng),？

教師邊提問邊引導(dǎo),，板書并規(guī)范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式,。

6.練習(xí)1：教材p.5中1,，2.要求多數(shù)學(xué)生在練習(xí)本上筆答，部分學(xué)生板書,，師生評價(jià),。題目答案不唯一,，最好二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。

練習(xí)2：下列關(guān)于x的方程是否是一元二次方程,？為什么,？若是一元二次方程，請分別指出其二次項(xiàng)系數(shù),、一次項(xiàng)系數(shù),、常數(shù)項(xiàng)。

8mx-2m-1＝0,；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2,；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

教師提問及恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，對學(xué)生回答給出評價(jià),，通過此組練習(xí),，加強(qiáng)對概念的理解和深化。

（四）總結(jié),、擴(kuò)展

引導(dǎo)學(xué)生從下面三方面進(jìn)行小結(jié),。從方法上學(xué)到了什么方法？從知識內(nèi)容上學(xué)到了什么內(nèi)容,？分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系,？

1.將實(shí)際問題用設(shè)未知數(shù)列方程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體會知識來源于實(shí)際以及轉(zhuǎn)化為方程的思想方法,。

2.整式方程概念,、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項(xiàng)系數(shù),、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng),。歸納所學(xué)過的整式方程。

3.一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系,。強(qiáng)調(diào)“a≠0”這個(gè)條件有長遠(yuǎn)的重要意義,。

四、布置作業(yè)

1.教材p.6 練習(xí)2.

2.思考題：

1）能不能說“關(guān)于x的整式方程中,，含有x2項(xiàng)的方程叫做一元二次方程,？”

2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學(xué)有余力的學(xué)生思考）.

五,、板書設(shè)計(jì)

第十二章? 一元二次方程

12.1用公式解一元二次方程

1.整式方程：……

4.例1：……

2.一元二次方程……：

……

3.一元二次方程的一般形式：

……

5.練習(xí)：……

……

……

12.6? 一元二次方程的應(yīng)用（二）

一,、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用問題,。

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力,，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識。

（三）德育滲透點(diǎn)：進(jìn)一步使學(xué)生深刻體會轉(zhuǎn)化以及方程的思想方法,、滲透數(shù)形結(jié)合的思想,。

二,、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積,、體積方面的應(yīng)用題,。

2.教學(xué)難點(diǎn)?：找等量關(guān)系。列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí),，應(yīng)注意是方程的解,，但不一定符合題意，因此求解后一定要檢驗(yàn),，以確定適合題意的解,。例如線段的長度不為負(fù)值，人的個(gè)數(shù)不能為分?jǐn)?shù)等,。

三,、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

初一學(xué)過一元一次方程的應(yīng)用，實(shí)際上是據(jù)實(shí)際題意,，設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程求解,，從而得到問題的解決,，但有的實(shí)際問題，列出的方程不是一元一次方程,，而是一元二次方程,，這就是我們本節(jié)課要研究的一元二次方程的應(yīng)用——有關(guān)面積和體積方面的實(shí)際問題。

（二）整體感知

本小節(jié)是“一元一次方程的應(yīng)用”的繼續(xù)和發(fā)展,。由于能用一元一次方程（或一次方程組）解的應(yīng)用題,，一般都可以用算術(shù)方法解，而需用一元二次方程來解的應(yīng)用題,，一般說是不能用算術(shù)法來解的,，所以，講解本小節(jié)可以使學(xué)生認(rèn)識到用代數(shù)方法解應(yīng)用題的優(yōu)越性和必要性,。

從列方程解應(yīng)用題的方法來說,，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出方程,、解方程,、判斷根是否適合題意，作出正確的答案,。列出一元二次方程,，其應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如在幾何,、物理及其他學(xué)科中都有大量問題存在,；本節(jié)課的內(nèi)容是關(guān)于面積,、體積的實(shí)際問題。

通過本節(jié)課學(xué)習(xí),，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力以及用數(shù)學(xué)的意識,，滲透轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想及數(shù)形結(jié)合的思想,。

（三）重點(diǎn),、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程

1.復(fù)習(xí)提問

（1）列方程解應(yīng)用題的步驟？

（2）長方形的周長,、面積,？長方體的體積？

2.例1? 現(xiàn)有長方形紙片一張,，長19cm,，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒,？

解：設(shè)需要剪去的小正方形邊長為xcm,，則盒底面長方形的長為（19-2x）cm，寬為（15-2x）cm,，

據(jù)題意：（19-2x）（15-2x）=77.

整理后,，得x2-17x+52=0，

解得x1=4,，x2=13.

∴? 當(dāng)x=13時(shí),，15-2x=-11（不合題意，舍去,。）

答：截取的小正方形邊長應(yīng)為4cm,，可制成符合要求的無蓋盒子。

本題教師啟發(fā),、引導(dǎo),、學(xué)生回答，注意以下幾個(gè)問題,。

（1）因?yàn)橐龀傻酌娣e為77cm2的無蓋的長方體形的盒子,，如果底面的長和寬分別能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，這樣依據(jù)長×寬=長方形面積,，便可以找準(zhǔn)等量關(guān)系,，列出方程，這是解決本題的關(guān)鍵,。

（2）求出的兩個(gè)根一定要進(jìn)行實(shí)際題意的檢驗(yàn),，本題如果截取的小正方形邊長為13時(shí)，得到底面的寬為-11，則不合題意,，所以x=13舍去,。（3）本題是一道典型的實(shí)際生活的問題，在學(xué)習(xí)本章之前,，這個(gè)問題無法解決,，但學(xué)了一元二次方程的知識之后，這個(gè)問題便可以解決,。使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價(jià)值,，由此提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和用數(shù)學(xué)的意識。

練習(xí)1.章節(jié)前引例,。

學(xué)生筆答,、板書、評價(jià),。

練習(xí)2.教材p.42中4.

學(xué)生筆答,、板書、評價(jià),。

注意：全面積=各部分面積之和,。

剩余面積=原面積-截取面積。

例2? 要做一個(gè)容積為750cm3,，高是6cm,，底面的長比寬多5cm的長方形匣子，底面的長及寬應(yīng)該各是多少（精確到0.1cm）,？

分析：底面的長和寬均可用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，則長×寬×高=體積,，這樣便可得到含有未知數(shù)的等式——方程,。

解：長方體底面的寬為xcm，則長為（x+5）cm,，

解：長方體底面的寬為xcm,，則長為（x+5）cm，

據(jù)題意,，6x（x+5）=750,，

整理后，得x2+5x-125=0.

解這個(gè)方程x1=9.0,，x2=-14.0（不合題意,，舍去）.

當(dāng)x=9.0時(shí)，x+17=26.0,，x+12=21.0.

答：可以選用寬為21cm,，長為26cm的長方形鐵皮。

教師引導(dǎo)，學(xué)生板書,，筆答,，評價(jià)。

（四）總結(jié),、擴(kuò)展

1.有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題均可借助圖示加以分析,，便于理解題意，搞清已知量與未知量的相互關(guān)系,。

2.要深刻理解題意中的已知條件,，正確決定一元二次方程的取舍問題，例如線段的長不能為負(fù),。

3.進(jìn)一步體會數(shù)字在實(shí)踐中的應(yīng)用,，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,。